江西省南昌市新建区第二中学2023-2024学年上学期高三小班实验班数学周练（8）

新建二中2023—2024学年度上学期高三小班实验班数学周练（8） 使用时间：2023.9.19 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1．已知复数，则（    ） A． B． C．3 D．5 2.已知，则（    ） A． B． C． D． 3. 已知定义在上的函数从x到的平均变化率为，则的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 4. 已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5. 已知函数的周期为，且满足，若函数在区间不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6. 已知，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 7. 设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8. 已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（每小题5分，共20分） 9. 已知，为坐标原点，终边上有一点.则（    ） A． B． C． D． 10. 已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说正确的是（    ） A．在上是减函数 B．其函数图象关于直线对称 C．函数是偶函数 D．在上的值域是 11. 函数及其导函数的定义域均为R，且，，则（    ） A．为偶函数 B．的图象关于直线对称 C． D． 12. 已知函数及其导函数满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．在上有极小值 B．的最小值为 C．在上单调递增 D．的最小值为 三、填空题（每小题5分，共20分） 13．已知函数，则 14. 已知和分别是函数且的极小值点和极大值点．若，则的取值范围是 　　． 15. 已知函数，，若恒成立，则的最大值是 . 16. 已知为与的交点，若为等边三角形，则正数的最小值为 ． 四、解答题: 17．在中，角的对边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，且外接圆半径为2，圆心为为上的一动点，试求的取值范围． 18. 已知函数． (1)讨论函数的单调性；(2)求证：当时，． 19. 如图，在三棱柱中，侧面是菱形，，是棱的中点，，点在线段上，且. (1)求证：平面. (2)若，平面平面，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 20. 已知函数，． (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)若，关于x的方程有三个不等的实根，求a的取值范围． 21. 知椭圆E：的左右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为 (1)求椭圆E的方程； (2)如图，下顶点为A，过点作一条与y轴不重合的直线.该直线交椭圆E于C，D两点.直线AD，AC分别交x轴于点H，求证：与的面积之积为定值，并求出该定值. 22. 已知函数． (1)若，函数有两个极小值点，求实数a的取值范围； (2)若，求证：． 新建二中2023—2024学年度上学期高三小班实验班数学周练（8） 一、选择题（每小题5分，共40分） BBCAC CAB AB AD BC ACD 三、填空题（每小题5分，共20分） 13． 14. 15. 1 16. 四、解答题: 17． 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 由余弦定理得，即， 所以，因为，所以. （2）由，利用余弦定理得， 所以，由（1）可知，为等边三角形，所以，    ，， 所以，， 设的中点为，则，则， 所以 ， 因为，所以，所以的取值范围是. 18. 【详解】（1）因为，所以． ①当时，在单调递减； ②当时，由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）当时，， 要证明，只要证，即证， 设，则，令得，列表得 a 1 0 单调递减 极小值 单调递增 所以，即，所以． 19. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为，所以， 又，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）过作，垂足为，连接，因为，所以为的中点， 因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面， 因为为正三角形，为的中点，所以. 如图，以为原点，以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，，，，， 则，，设平面的法向量为， 则，得，取，平面的法向量可取， 所以，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 20. 【详解】（1）解：当时，函数， 由，可得， 故函数的单调递增