专题08 用函数模型解决实际问题-2023-2024学年高一数学上学期期末复习课·专题（上海专用 沪教版2020必修第一册）

专题08 用函数模型解决实际问题 在实际生活和社会实践中，常涉及一些数量与数量的关系，如果把这种函数关系写出来，就可以利用我们所学过的函数知识，进行研究，解决一些实际问题； 用函数模型解决实际问题的基本步骤： 1、审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型； 2、建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； 3、解模：对已经“数学化”的问题，用所学过的数学知识处理，求出解； 4、检验：将数学问题的解代入实际问题检验，舍去不合题意的解，并作答； 1、常见的函数模型 （1）一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)； （2）反比例函数模型：f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0)； （3）二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)； （4）指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)； （5）对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)； （6）幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)． （7）分段函数模型； 题型1、根据题设给定函数模型解实际问题 例1、通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式： f(x)＝ （1）开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？ （2）开讲后5 min与开讲后20 min比较，学生的接受能力何时强一些？ （3）一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？ 题型2、依据一次函数模型解题 例2、（1）为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(单位：分)与通话费用y(单位：元)的关系如图所示． ①分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式； ②请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜； （2）某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件．经试销调查发现，销售量y(件)与销售单价x(元/件)近似满足一次函数y＝kx＋b的关系(图象如图所示)． ①根据图象，求一次函数y＝kx＋b的表达式； ②设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元，求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价． 题型3、依据二次函数模型解题 例3、（1）某超市每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶，在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方案：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？ （2）某厂生产一种产品，每件产品的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部产品的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件． ①设一次订购x件，产品的实际出厂单价p元，写出函数p＝f(x)的表达式； ②当销售商一次订购多少件产品时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？ 【说明】在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实际问题建立二次函数解析式后，主要是结合二次函数的图像，其图像受定义域(是全体实数，还是闭区间，还是开区间，还是正整数等)与开口方向等条件的限制；可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题； 题型4、依据指数型函数模型解题 例4、（1）某学校为了预防甲型H1N1流感，对教室采用药熏消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝ (a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． （2）在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/