精品解析：四川省雅安市2023-2024学年高二上学期12月联考数学试题

数 学 试 卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知为圆上一动点，为坐标原点，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知椭圆的右顶点为，上顶点为，为直线与轴的交点，若为等腰三角形，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 若点，到直线的距离相等，则（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或2 6. 如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是双曲线的左焦点，为坐标原点，过点且斜率为的直线与的右支交于点，，，则的离心率为（ ） A 3 B. 2 C. D. 8. 已知是抛物线的焦点，过的直线与交于两点，则的最小值为（ ） A. 36 B. 24 C. 18 D. 9 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知，分别是椭圆的上、下焦点，点在椭圆上，则（ ） A. 的长轴长为 B. 的短轴长为 C. 的坐标为 D. 的最小值为 10. 圆与圆公切线的方程可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知左、右焦点分别是，的双曲线上有一点（，），且，则（ ） A. B. C. 面积为31 D. 的周长为 12. 数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径折成了直二面角（其中对应钟上数字对应钟上数字9）.设的中点为，若长度为2的时针指向了钟上数字8，长度为3的分针指向了钟上数字12.现在小王准备安装长度为3的秒针（安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细），则下列说法正确的是（ ） A. 若秒针指向了钟上数字5，如图2，则 B. 若秒针指向了钟上数字5，如图2，则平面 C. 若秒针指向了钟上数字4，如图3，则与所成角的余弦值为 D. 若秒针指向了钟上数字4，如图3，则四面体的外接球的表面积为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________ 14. 已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为6，则__________． 15. 已知椭圆，过点，斜率为的直线与交于，两点，且为的中点，则__________． 16. 若A，B是平面内不同的两定点，动点满足（且），则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知是圆上的动点，点，，则的最大值为_______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知直线经过点． （1）若经过点，求的斜截式方程； （2）若在轴上的截距为，求在轴上的截距． 18. 已知圆与圆关于直线对称． （1）求的标准方程； （2）记与的公共点为，求四边形的面积． 19. 如图，在长方体中，点，分别在棱，上，，，，. （1）证明：. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 20. 已知曲线的方程为． （1）说明为何种圆雉曲线，并求的标准方程； （2）已知直线与交于，两点，与的一条渐近线交于点，且在第四象限，为坐标原点，求． 21. 如图，在五面体中，四边形为矩形，平面平面，且，正三角形的边长为2. （1）证明：平面. （2）若，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 22. 圆称为椭圆的蒙日圆.已知椭圆：的离心率为，的蒙日圆方程为. （1）求的方程； （2）若为的左焦点，过上的一点作的切线，与的蒙日圆交于，两点，过作直线与交于，两点，且，证明：是定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数 学 试 卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，