专题4 一元一次方程中的参数问题～专题5 几何初步中的不定问题-【一本】2022-2023学年七年级上册数学同步训练（人教版）

专题4 一元一次方程中的参数问题 考点分析 所谓含“参数的一元一次方程”是指未知数的系数或未知数的次数含有其他字母的一次 方程.这类问题的情况复杂，条件隐晦，全面考查学生思维的灵活性、发散性。在解这类问题 时，一定要弄清题意，充分挖掘题中的隐含条件， 思维训 练 考向一 一元一次方程中的参数问题 圆1若不论k取什么实数，关于x的方程2k十a-二伽=1(a,b是常数)的根总是x=1,求 3 6 a十b的值， ⑦思路分析这里出现了三个参数k,a,b,将x=1代入方程后，可以得到关于k,a,b的等式，考 虑到题目要求不论k取什么实数，等式都成立，我们可以把k看成x=b中的未知数x,将等式 化为Ak=B,其中A,B为含有a,b的整式，当A=0且B=0时，等式成立，从而求出a,b的值. 解：把x=1代入，得2+u_1一也-=1， 3 6 去分母，得4k+2a一1+kb-6=0,即(b+4)k=7-2a, 因为不论k取什么实数，关于x的方程k十4-=1的根总是x=1, 3 6 所以6叶4=0,7-2a=0,解得6=-4a=号，故a+b=一2 解题小结 若方程a.x=b的解（或有无数多个解）和a,b均无关，则需满足a=0,且b=0. 【例题变式】已知关于x的方程(2a十b)x一1=0无解，那么ab的值是 A.负数 B.正数 C.非负数 D.非正数 实践提升 1.已知非零自然数m和n满足2m十3n=9,则m十n= A.2 B.3 C.4 D.5 2.解关于x的方程：m.x一2=3m十5x. ·17 专题5 几何初步中的不定问题 考点分析 线段与角的计算问题，既是七年级数学上册的一个重点，又是一个难点.这时学生刚刚接 触几何图形的计算知识，对线段与角的认知仅仅停留在直观的图形认识上.对于计算，需要涉 及简单的逻辑推理和书写过程，学生往往感觉既抽象又陌生.解题过程中常常会出现因思雏 单一而无法深入，造成答案不完整或根本无法完成题目的情况.解决这类问题的关键就是利 用“方程思想”和“分类讨论思想” 思 维训 练 考向 与线段相关的不定问题 例1如图1，已知点C在线段AB上，AC=10cm,BC=6cm,点M,N分别是AC,BC的中点， A M C N B A C B 图1 图2 (1)求线段MN的长度； (2)根据第(1)题的计算过程和结果，设AC+BC=a,其他条件不变，求MN的长度； (3)如图2，动点P,Q分别从A,B同时出发，点P以2c/s的速度沿AB向右运动，终点为 B,点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A,当一个点到达终点时，另一个点也随之 停止运动.求运动多少秒时，C,P,Q三点中有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点 ①思路分析(1)利用中点定义结合整体思想即可，类似中点也可以推广至三等分，点，n等分点 等.(2)则是把几何问题代数化，利用字母替换线段长的不定性，把各条线段用含有字母的式子 依次表达出来即可.(3)可以把本题看成一元一次方程中常见的路程问题，注意这里要分类讨 论，而分类的标准为三个点都可能作为中点，这样才能做到不重不漏. 解：(1)因为AC=10cm,BC=6cm,点M,N分别是AC,BC的中点， 所以CM=2AC=5cm,CN=2BC=3cm,所以MN=CM+CN=8cm. (2)因为点M,N分别是AC,BC的中点，所以CM=2AC,CN=2BC, 所以MN=CM+CN=2AC+号BC-2a (3)方法一：利用中点的性质，结合分类讨论，用含时间t的未知数表示线段长 ①当0t≤5时，点C是线段PQ的中点，则10-21=6-t,解得t=4: ②当5<<9时，点P为线段CQ的中点，则21-10=16-3，解得1=25 ③当9<1≤6时，点Q为线段PC的中点，则6-1=3-16，解得1=： ·18. ④当6<t≤8时，点C为线段PQ的中点，则2t一10=t一6，解得t=4(舍去). 综上所述，运动4s或或号时，CP,Q三点中有一点恰好是以另外两点为端点的线段的 中点。 方法二：利用数形结合思想，把动点看作数轴上的点，用带未知数1的整式表示出动点对应的数. AP C Q B -10 0 6 如图，设点A、点B、点C在数轴上对应的数分别为一10,6,0 由题意可知点P对应的数为一10+21，点Q对应的数为6一t,0≤1≤8. ①当点C为P,Q的中点时，一10+2t+6-t=0,解得t=4; ②当点P为C,Q的中点时，6-1=2(-10+21)，解得1=26 ③当点Q为C,P的中点时、-10+21=2(6-0，解得1=号 综上所述，运动4s或9或号时，C.P,Q三点中有一点恰好是以另外两点为端点的线段的 中点 ⊙解题小结 遇到此类问题，一般先区分是动态线段还是静态线段，用以静制动的思想来解决问题.对于 线段上的动点