专题2 绝对值的应用-【一本】2022-2023学年七年级上册数学同步训练（人教版）

专题2 绝对值的应用 考点分析 绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号 的数学问题又是学生遇到的难，点之一，解决这类问题通常利用绝对值的意义，将绝对值符号 化去，将其转化为不含绝对值的问题（确定绝对值符号内部分的正负，借此去掉绝对值符号） 也可以利用数形结合思想，将数学中的几何思维方式与代数思维方式这两者进行巧妙的结合 作为解决问题突破口. 思维切练 考向一 绝对值化简 例1有理数a,b,c在数轴上的位置如图： a 0b (1)判断正负，用“>”或“<”填空：b一c 0,a+b 0,c-a 0 (2)化简：b-c|+|a十b-c-a. a(a≥0)， ⑦思路分析我们知道a= 去绝对值的关键是看绝对值里面式子的正负性.若为 -a(a<0), 非负数，去掉绝对值是式子本身：若为非正数，去掉绝对值是其相反数.如本题中，由数轴可知， <0<b<c,且a|>b,所以b一c<0,a十b<0,c一a>0,再利用去括号即可解决整式求值问题. 解：(1)由题图可知，a<0,b>0,c>0,且|b<a<c,所以b-c<0,a十b0,c一a>0. 故答案为<，<，> (2)1b-c|+|a+b-1c-a|=(c-b)+(-a-b)-(c-a)=c-b-a-b-c十a=-2h. ©解题小结 去绝对值号化简的步骤：(1)观察数轴，确定各字母符号；(2)判断绝对值里各整式的符号， 如果该整式值为非正数，则去掉绝对值是它的相反数，如果该整式值为非负数，去掉绝对值是它 本身：(3)将去掉绝对值的整式进行化简即可， 实践提升 1.己知x<-3,化简：3+12-11+x|. ·8 2.已知a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简：2a|一a十c一1一b+-一a一b. c a 0 b i 3.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，且a=b,化简：c一a十c一b十|a十b. a 4.如图，已知数轴上点A,B,C所对应的数a,b,c都不为0，且C是AB的中点，如果a十b一 |a一2c+b-2c|一a+b-2c=0,试确定原点O的大致位置. AC B b 考向二绝对值非负性，求最值应用（数形结合） 例2阅读下面的材料：5一2表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应 的两点之间的距离：|5十2可以看作|5一（一2）川，表示5与一2的差的绝对值，也可理解为5 与一2两数在数轴上所对应的两点之间的距离. (1)式子2+3可以表示2和 两数在数轴上所对应的两点之间的距离.数轴上表示x 和一1的两点A和B之间的距离表示为 ,如果AB=3,那么x为 (2)若点A表示的整数为x,则当x为 时，x+4与x一2的值相等： (3)要使x+5+|x一2取最小值，相应的x的取值范围是」 ①思路分析对于第(1)问最后一个填空可理解为求在数轴上与表示一1的，点距离为3个单位 长度的，点所对应的数.对于第(2)问则可转化成求表示2和一4的两点所连线段的中，点所对应的 数.对于第(3)问，可理解为点P表示的数为x,A点表示的数为一5，B点表示的数为2，求PA十 PB的值最小时，x的取值范围. 。9· 解：(1)式子|2十3可以表示2和一3两数在数轴上所对应的两点之间的距离.数轴上表示x和 一1的两点A和B之间的距离表示为x+1,如果AB=3,那么x为一4或2. (2)若点A表示的整数为x,则当x为一1时，x十4与x一2的值相等. (3)设A,B,P三点对应的数分别是一5,2，x 当一5≤x≤2时，即点P在线段AB上，如图1，此时|x十5|+|x一2=PA十PB=AB=7; -5x02 图1 当x>2时，即点P在点B右侧，如图2，此时1x十5|十|x-2=PA+PB=AB+2PB>AB; BP -5 02x 图2 当x<-5时，即点P在点A左侧，如图3，此时|x十5|+|x一2=PA十PB=AB十2PA>AB. P人A B x-5 02 图3 综上可知，当一5≤x≤2时（点P在线段AB上），x十5十|x一2取得最小值为7. 故答案为(1)-3，x十1，-4或2.(2)-1.(3)-5≤x≤2. ©解题小结 本题关键是结合提供的阅读材料，以及数轴上的点，充分理解a一b,a十b的含义，a一b为 表示数a的点和表示数b的点之间的距离，|a十b为表示数a的点和表示数一b的点之间的距 离.把数的问题利用数轴变为数形结合的问题，以形为载体理解数，从而解决问题.此结论可以 推广为：若已知a<b,则当a≤x≤b时，|x一a|十|x一b取得最小值，最小值为 实践提升 1.(1)当x满足 时，|x一5引十|x一200取得最小值，最小值为 (2)当x满足 时，x十3十x一4取得最小值，最小值为 (3)当x满足 时，|x+6+|x十4取得最小值，最小值为 2.我们知道，a