第22章 一元二次方程单元测试卷2023—2024学年华东师大版数学九年级上册

第22章 一元二次方程 一、单选题(共8小题) 1.已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为(   ) A. B. C. D. 2.方程化为的形式后的值分别为(   ) A.，， B.，， C.，， D.，， 3.方程的根是(   ) A.， B.， C.， D.， 4.我们解一元二次方程时，可以运用因式分解法，将此方程化为，从而得到两个一元一次方程：或，进而得到原方程的解为，．这种解法体现的数学思想是(   ) A.转化思想 B.函数思想 C.数形结合思想 D.公理化思想 5.下面是用配方法解方程的步骤，其中，开始出现错误的一步是(    ) ‍，  ① ‍，② ‍，③ ‍．④ A.① B.② C.③ D.④ 6.如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”，下列说法： ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则或． 其中，正确的说法是(   ) A.① B.② C.①② D.以上都不对 7.以为根的一元二次方程可能是(   ) A. B. C. D. 8.对于实数，定义运算“”为,例如，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是(   ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 二、填空题(共6小题) 9.已知关于的一元二次方程的一个根比另一个根大，则的值为     ． 10. 方程的实数解是     . 11.已知与的部分对应值如下表所示，则方程的一个根的取值范围是     ．             12.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则     （写出一个满足条件的值）． 13.若抛物线的图像与轴有交点，那么的取值范围是     . 14.对于实数，定义：，，如：，.以下结论： ①［］； ②； ③； ④若，且满足，则． 正确的是     ．(填序号即可) 三、解答题(共10小题) 15.解方程：. 16.解方程 17.为何值时，两个代数式的值相等？ 18.如图，把小圆形场地的半径增加得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，求小圆形场地的半径． ‍ 19.先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题 解关于的方程解：令，则原方程化为配方得（），解得， ‍，解得，． 试解关于的方程． 20. 已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个实数根为，，若，求的值． 21.定义新运算：对于任意实数，，都有☆，等式右边是常用的加法、乘法及乘方运算．例如：☆.根据以上知识解决问题：若☆的值小于，请判断关于的一元二次方程的根的情况． 22.阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出的值． 【问题】解方程：. 【提示】可以用“换元法”解方程． 解：设，则有， 原方程可化为：. 【续解】 23.列方程（组）解应用题  端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克元； 小李：当销售价为每千克元时，每天可售出千克；若每千克降低元，每天的销售量将增加千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ 24.在矩形中，，，点以的速度从顶点出发沿折线向点运动，同时点以的速度从顶点出发，沿向点运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动． ‍ (1)问两动点运动几秒后，四边形的面积是矩形面积的？ (2)问是否存在某一时刻使得点与点之间的距离为？若存在，请求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由． 参考答案 1.【答案】D 【解析】关于的一元二次方程有一个根为, , 则. 故选. 2.【答案】A 3.【答案】A 【解析】∵， ∴或， ∴，. 故选A 4.【答案】A 【解析】上述解题过程利用了转化的数学思想． 我们解一元二次方程时，可以运用因式分解法，将此方程化为， 从而得到两个一元一次方程：或， 进而得到原方程的解为，． 这种解法体现的数学思想是转化思想. 故选A． 5.【答案】C 【解析】移项，得.二次项系数化为，得.配方，得，即．观察上面的步骤可知，开始出现错误的一步是③．故选． 6.【答案】B 7.【答案】D 【解析】的根为； ‍的根为； ‍的根为； ‍的根为． 故选D 8.【答案】A 【解析】， ‍， ‍， ‍      ， ‍关于的方程有两个不相等的实数根． 故选． 9.【答案】 【解析】设原方程的两根为，，则，. 依题意，得 ‍， ‍， 解得(不合题意，舍去)，. 10.【答案】， 【解析】方程， 分解因式得：， 可得或， 解得：， 故答案为：，． 11.【答案】 【解析】当时，， 当时