2024届高三数学二轮复习强化练7：三角恒等变换与解三角形

强化练7 三角恒等变换与解三角形 一、单项选择题 1．(2023·汕头模拟)在△ABC中，已知C＝45°，b＝，c＝2，则角B为(　　) A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 2．(2023·芜湖模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos A＋bcos(A＋C)＝0，则△ABC为(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 3．(2023·新高考全国Ⅱ)已知α为锐角，cos α＝，则sin 等于(　　) A. B. C. D. 4．(2023·南充模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　) A．10 海里 B．10 海里 C．20 海里 D．20 海里 5．(2023·烟台模拟)已知α，β满足sin(2α＋β)＝cos β，tan α＝2，则tan β的值为(　　) A．－ B．－ C. D. 6．(2023·毕节模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点G为△ABC的重心，且·＝0，当∠C取最大值时，cos C等于(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题 7．(2023·衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝5∶6∶7，则下列结论正确的是(　　) A．sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4 B．△ABC为钝角三角形 C．若a＝6，则△ABC的面积是6 D．若△ABC外接圆半径是R，内切圆半径是r，则＝ 8．函数f(x)＝sin x(sin x＋cos x)－，若f(x0)＝，x0∈，下列结论正确的是(　　) A．f(x)＝sin B．直线x＝是f(x)图象的一条对称轴 C．f(x)在上的最小值为－ D．cos 2x0＝ 三、填空题 9．(2023·开封模拟)在△ABC中，AB＝7，BC＝3，C＝，则△ABC的面积为________． 10．(2023·沧州调研)已知tan θ＝，则＝________. 11．(2023·泉州统考)2022年11月30日，神舟十五号载人飞船成功与天和核心舱对接形成组合体，并于2023年6月4日成功返回地面．本次任务的完成见证了货运飞船与空间站交会对接最快世界纪录等众多历史性时刻．如图，神舟十五号返回舱接近地面时，伞面是表面积约为392π m2的半球面(不含底面圆)，伞顶B与返回舱底端C的距离为半球半径的5倍，直线BC在水平地面上的投影为D，D和观测点A在同一水平线上．在遥控观测点A处测得点B的仰角为45°，线段BC的视角(即∠BAC)的正弦值为，则此时返回舱底端离地面的高度约为__________m. 12．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，BD平分∠ABC交AC于点D，若BD＝2,2AD＝3CD，则△ABC的面积为_____________________________________． 四、解答题 13．(2023·曲靖模拟)在①asin(A＋C)＝bcos；②1＋2cos Ccos B＝cos(C－B)－cos(C＋B)；③＝这三个条件中选择一个补充在下面问题中的横线上，然后求解． 问题：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＋c＝2，a＝，________.(说明：只需选择一个条件填入求解，如果三个都选择并求解的，只按选择的第一种情形评分) (1)求角A的大小； (2)求△ABC内切圆的半径． 14．(2023·新高考全国Ⅱ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. 参考答案 1．A　2.D　3.D　4.A　5.A 6．A　[如图，＝－＝－＝－×(＋)＝－， 同理＝－， ∴·＝· ＝－2－2＋·＝0， 即2a2＋2b2＝5abcos C， ∴cos C＝， ∴cos C＝≥＝， 当且仅当a＝b时，等号成立， 又y＝cos x在(0，π)上单调递减，C∈(0，π)， ∴当∠C取最大值时，cos C＝.] 7．BD　[设a＋b＝5t，b＋c＝6t，c＋a＝7t，t>0， 则a＝3t，b＝2t，c＝4t，对于A， sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4， 故A不正确； 对于B，c最大，所以C最大， cos C＝＝－<0，故B正确； 对于C，若a＝6，则t＝2，b＝4，c＝8， 由cos C＝