第一章 集合与常用逻辑用语 章末总结-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

章末总结 网络建构 知识辨析 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里打“√”,错误的打“×”. 1.集合有三个性质,即确定性、无序性、互异性.(　√　) 2.实数集既可以表示为{R},也可以表示为R .(　×　) 3.空集是任何一个集合的子集,也是任何一个集合的真子集.(　×　) 4.任何一个集合都有子集.(　√　) 5.两集合的并集就是将两集合中的所有元素合并在一起构成的集合.(　×　) 6.当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.(　√　) 7.如果p是q的充分条件,那么命题“若p,则q”不一定为真.(　×　) 8.命题就是可以判断真假的陈述句.(　√　) 9.全称量词命题和其否定不可能都是真命题.(　√　) 10.全称量词命题中一定含有全称量词.(　×　) 　集合之间的关系及其应用 [典例1] 已知集合A={x|0<ax+1≤5},B={x|-<x≤2}. (1)若A⊆B,求实数a的取值范围; (2)若B⊆A,求实数a的取值范围; (3)A,B能否相等?若能,求出a的值;若不能,说明理由. 解:(1)当a=0时,A=R,A⊆B不成立; 当a<0时,由0<ax+1≤5得≤x<-. 因为A⊆B,所以 所以a<-8; 当a>0时,由0<ax+1≤5得-<x≤, 因为A⊆B,所以 所以a≥2. 综上知,a<-8或a≥2. (2)当a=0时,显然有B⊆A; 当a<0时,因为B⊆A, 所以所以 所以-<a<0; 当a>0时,因为B⊆A, 所以 所以0<a≤2. 综上知,-<a≤2. (3)能.若A=B,则A⊆B,且B⊆A,反之亦然. 由(1)(2)可知所以a=2. (1)判断集合之间的关系或研究与集合有关的计算问题,若集合不是最简形式,需要先化简集合. (2)利用不等式表示的含参数集合的包含与真包含问题,常用数轴的直观图来解,特别要注意不等式边界值的取舍,含参数时要注意对集合空集的讨论. 　集合的运算 [典例2] 设全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求∁R(A∪B)及 (∁RA)∩B. 解:把全集R和集合A,B在数轴上表示如图, 由图知,A∪B={x|2<x<10}, 所以∁R(A∪B)={x|x≤2或x≥10}. 因为∁RA={x|x<3或x≥7}, 所以(∁RA)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}. 求解用不等式表示的数集间的集合运算时,一般要借助于数轴求解,此法的特点是简单直观,同时要注意各个端点的画法及取到与否. 　充分条件与必要条件 [典例3] (1)命题“∃x∈[1,3],x2-2a≥0”为真命题的一个必要不充分条件是(　　) A.a< B.a≤ C.a≤ D.a≤5 (2)已知命题p:<1,q:m<x<m+2,若p是q的必要不充分条件,则m的取值范围是(　　) A.[0,2] B.[-2,1] C.(-∞,-2]∪[1,+∞) D.(-∞,-1]∪[2,+∞) (3)已知p,q都是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件.那么: ①s是q的什么条件? ②r是q的什么条件? ③p是q的什么条件? (1)解析:若“∃x∈[1,3],x2-2a≥0”为真命题, 则等价于“∃x∈[1,3],≥a”为真命题, 所以a≤()max, 令f(x)=,x∈[1,3],则函数f(x)在x∈[1,3]上单调递增,f(x)max=f(3)=,所以a≤, 则必要不充分条件为包含a≤的集合,结合选项可知a≤5符合题意.故选D. (2)解析:依题意,由<1得x<0或x>1, 则命题p所对集合A=(-∞,0)∪(1,+∞), 而命题q所对集合B=(m,m+2), 因p是q的必要不充分条件,于是得B⫋A, 即m+2≤0或m≥1, 解得m≤-2或m≥1, 所以m的取值范围是(-∞,-2]∪[1,+∞).故选C. (3)解:将p,q,r,s的关系作图表示,如图所示. ①因为q⇒r⇒s,s⇒q,所以s是q的充要条件. ②因为r⇒s⇒q,q⇒r,所以r是q的充要条件. ③因为p⇒r⇒s⇒q,所以p是q的充分条件. 充分、必要、充要条件的判断方法 (1)定义法: ①若p⇒q,但qp,则p是q的充分不必要条件; ②若q⇒p,但pq,则p是q的必要不充分条件; ③如果p⇒q,且q⇒p,则p是q的充要条件; ④若pq,且qp,则p是q的既不充分也不必要条件. (2)集合法: 对于集合A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q},具体情况如下: 若A⊆B,则p是q的充分条件; 若A⊇B,则p是q的必要条件; 若A=B,则p是q的充要条件; 若A⫋B,则p是q的充分不必要条件; 若A⫌B,则p是q的必要不充分条件. 　全称量词命题与存在量词命题 [典例4] 若命题“∃x∈R,ax2+x-1>0(a≠0)”是假命题