第二章 等式与不等式 章末总结-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

章末总结 网络建构 知识辨析 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里打“√”,错误的打“×”. 1.x4-y4=(x-y)(x+y)(x2+y2).(　√　) 2.方程ax2+bx+c=0所有根之和为-.(　×　) 3.方程组有无数组解.(　√　) 4.如果a>b,那么ac>bc.(　×　) 5.如果a>b,那么>.(　×　) 6.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根m,n(m<n),则不等式ax2+bx+c<0的解集为(m,n).(　×　) 7.函数y=x+的最小值为2.(　×　) 8.x>0,且y>0是+≥2的充要条件.(　×　) 　十字相乘法因式分解 [典例1] 把下列各式因式分解: (1)a2-7a+6; (2)8x2+6x-35; (3)18x2-21x+5; (4)20-9y-20y2; (5)2x2+3x+1; (6)2y2+y-6; (7)6y2+19y+10; (8)2x2-5xy+2y2. 解:(1)原式=(a-1)(a-6). (2)原式=(2x+5)(4x-7). (3)原式=(6x-5)(3x-1). (4)原式=-(20y2+9y-20)=-(4y+5)(5y-4). (5)原式=(2x+1)(x+1). (6)原式=(y+2)(2y-3). (7)原式=(2y+5)(3y+2). (8)原式=(x-2y)(2x-y). (1)注意下列公式的应用 ①平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2; ②完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2; ③立方和公式(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3; ④立方差公式(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3; ⑤三数和平方公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac); ⑥两数和立方公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3; ⑦两数差立方公式(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3. (2)因式分解的主要方法有十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法. 　一元二次方程根与系数的关系 [典例2] (1)已知关于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-1=0. ①求证:不论m为任何实数,方程总有两个不相等的实数根; ②若方程两根为x1,x2且满足+=-,求m的值. (2)设x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值. ①x2+x1;②(x1-x2)2; ③(x1+)(x2+);④+. (1)①证明:Δ=(4m+1)2-4(2m-1)=16m2+5>0, 所以不论m为任何实数,方程总有两个不相等的实数根. ②解:因为x1+x2=-(4m+1),x1x2=2m-1, 所以+==-, 即=-, 所以m=-. (2)解:由根与系数的关系得 ①原式=x1x2(x1+x2)=×3=. ②原式=(x1+x2)2-4x1x2=9-4×=3. ③原式=x1x2++2=++2=. ④原式===. 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,那么x1+x2=-,x1x2=. 利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形: ①+=(x1+x2)2-2x1x2. ②+=. ③(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2. ④|x1-x2|=. ⑤x1+x2=x1x2(x1+x2). ⑥+=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2). 　不等式的性质及应用 [典例3] (1)下列命题正确的是(　　) A.若a>b,则ac>bc B.若a>b,则ac2>bc2 C.若a>b,则a3>b3 D.若a>b,则a2>b2 (2)已知a>b>c>0,若P=,Q=,则(　　) A.P≥Q B.P≤Q C.P>Q D.P<Q 解析:(1)由a>b,c=0,可得ac=bc,ac2=bc2,故A,B错; 由y=x3在R上单调递增,可得a>b, 即有a3>b3,故C对; 由a=1,b=-1,得a2=b2,故D错.故选C. (2)P-Q=- ==. 因为a>b>c>0,所以a-b>0,c-a-b<0, ab>0,所以P<Q.故选D. (1)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质. (2)比较大小的四种常用方法:作差法、作商法、单调性法和特殊值验证法. 　一元二次不等式的解法 [典例4] 解关于x的不等式: (1)-4x2+4x+3>0; (2)12x2-ax>a2(a∈R). 解:(1)由-4x2+4x+3>0,得4x2-4x-3<0, 所以(2x-3)(2x+1)<0,解得-<x<, 故不等式的解集为{x|-<x<}. (2)因为12x2-ax>a2,所以12x2-ax-a2>0, 即(4x+a)(3x-a)>0. 令(4x+a)(3x-a