11.1 分步计数原理-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（新高考专用）

11.1 分步计数原理 基础知识 1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同的方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种数 不同点 分类、相加 分步、相乘 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事(每步中的每一种方法不能独立完成这件事) 注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，缺一不可 典型例题分析 考向一　分类加法计数原理 例1　(1)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的共有(　　) A．18个 B．15个 C．12个 D．9个 答案　B 解析　依题意知，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,0,0组成的有3个，分别为400,040,004；由3,1,0组成的有6个，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成的有3个，分别为220,202,022；由2,1,1组成的有3个，分别为211,121,112，共3＋6＋3＋3＝15(个)． (2)甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A，B，C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 答案　B 解析　根据题意，分两种情况讨论：①乙和甲一起去A社区，此时将丙、丁二人安排到B，C社区即可，有A＝2种情况；②乙不去A社区，则乙必须去C社区，若丙、丁都去B社区，有1种情况，若丙、丁中有1人去B社区，则先在丙、丁中选出1人，安排到B社区，剩下1人安排到A或C社区，有2×2＝4种情况，则不同的安排方法种数为2＋1＋4＝7.故选B. (3)现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数为________. 答案　12 解析　若第一门安排在第一天或第五天，则第二门有3种安排方法，这时，共有2×3＝6种方法；若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有3×2＝6种方法．综上可得，不同的考试安排方案共有6＋6＝12种． 方法小结　　使用分类加法计数原理时应注意的三个方面 (1)各类方法之间相互独立，每种方法都能完成这件事，且方法总数是各类方法数相加得到的． (2)分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类． (3)完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不同类的方法都是不同的． 　1.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(　　) A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 答案　B 解析　依题意，得可能剩余一本画册或一本集邮册两类情况．第一类，剩余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有4种；第二类，剩余的是一本集邮册，此时满足题意的赠送方法共有C＝6(种)．因此，满足题意的赠送方法共有4＋6＝10种．故选B. 2．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　) A．14 B．13 C．12 D．10 答案　B 解析　当a＝0时，关于x的方程为2x＋b＝0，此时有序数对(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均满足要求；当a≠0时，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此时满足要求的有序数对为(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)．综上，满足要求的有序数对共有13个．故选B. 3．如果一个三位正整数形如“a1a2a3”满足a1<a2，且a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为(　　) A．240 B．204 C．729 D．920 答案　A 解析　若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，凸数为120与121，共2个．若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则凸数有2×3＝6(个)．若a2＝4，满足条件的凸数有3×4＝12(个)，…，若a2＝9，满足条件的凸数有8×9＝72(个)．所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．故选A. 考向二　分步乘法计数原理