4.4 幂函数-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第二册同步全程学习课时作业word（新教材，人教B版）

4.4　幂函数 选题明细表 知识点、方法 题号 幂函数的图像 1,3,7 幂函数性质 2,4,5,9,10 幂函数综合应用 6,8,11,12 基础巩固 1.给出下列四个说法: ①当α=0时,y=xα的图像是一个点; ②幂函数的图像都经过点(0,0),(1,1); ③幂函数的图像不可能出现在第四象限; ④若幂函数y=xα在第一象限为减函数,则α<0. 其中,正确说法的个数是(　B　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:当α=0时,函数y=xα的定义域为{x|x≠0,x∈R},其图像是一条去掉点(0,1)的直线,故①不正确;当α<0时,函数y=xα的图像不过(0,0)点,故②不正确;③④正确.故选B. 2.(多选题)下列数值中能使函数y=xα的定义域是R,且为奇函数的α的值有(　BC　) A.-1 B.3 C.1 D. 解析:当α=-1时,y=x-1的定义域是{x|x≠0},且为奇函数;当α=时,函数y=的定义域是{x|x≥0},且为非奇非偶函数;当α=1时,函数y=x的定义域是R,且为奇函数;当α=3时,函数y=x3的定义域是R,且为奇函数.故选BC. 3.已知幂函数y=f(x)的图像过点(,),则log2f(2)的值为(　A　) A. B.- C.2 D.-2 解析:设log2f(2)=n,则f(2)=2n, 所以f(x)=xn, 又因为幂函数y=f(x)的图像过点(,), 所以()n==()⇒n=.故选A. 4.(2021·山西太原阶段性测试)有四个幂函数:①f(x)=x-1;②f(x)= x-2;③f(x)=x3;④f(x)=.某同学选择上述函数中的一个进行研究,并给出这个函数的三个性质:(1)偶函数;(2)值域是(-∞,0)∪ (0,+∞);(3)在(0,+∞)上单调递减.如果他给出的三个性质中,有两个正确,一个错误,则他研究的函数可能是　　 　　.(填序号)  解析:对于①,f(x)=x-1是(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,值域是 (-∞,0)∪(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递减,满足条件; 对于②,f(x)=x-2是(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,值域是(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递减,满足条件; 对于③,f(x)=x3是R上的奇函数,值域是R,且在(0,+∞)上单调递增,不满足条件; 对于④,f(x)=的定义域是[0,+∞),所以该函数既不是奇函数也不是偶函数,该函数的值域是[0,+∞),且在[0,+∞)上单调递增,不满足条件. 答案:①② 5.若幂函数y=(m2-2m-2)x-4m-2在x∈(0,+∞)上为减函数,则实数m的值是　　　　;若该幂函数在(0,+∞)上是增函数,则m=　　　　.  解析:因为函数y=(m2-2m-2)x-4m-2既是幂函数又是(0,+∞)上的减 函数, 所以⇒ 解得m=3. 同理可得m=-1时,幂函数在(0,+∞)上是增函数. 答案:3　-1 能力提升 6.设a=0.50.5,b=0.30.5,c=log0.30.2,则a,b,c的大小关系是(　C　) A.c<b<a B.a<b<c C.b<a<c D.a<c<b 解析:根据幂函数y=x0.5的单调性, 可得0.30.5<0.50.5<10.5=1,即b<a<1; 根据对数函数y=log0.3x的单调性, 可得log0.30.2>log0.30.3=1,即c>1, 所以b<a<c.故选C. 7.已知函数y=loga(x-b)的大致图像如图所示,则幂函数y=在第一象限的大致图像是(　B　) 解析:由y=loga(x-b)的图像可知 所以得a>1,0<b<1,所以0<<1,所以幂函数y=在第一象限的大致图像为B.故选B. 8.(多选题)若一些函数的解析式和值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,例如函数y=x2,x∈[1,2]与函数y=x2,x∈[-2,-1]就是“同族函数”.下列四个函数中不能用来构造“同族函数”的是(　BCD　) A.y=|x| B.y= C.y=x3 D.y=x-1 解析:由题意知,“同族函数”不能是单调函数,故B,C不能用来构造“同族函数”;因为y=x-1是奇函数,图像关于原点对称,所以不同的定义域,值域不可能相同,故D不能用来构造“同族函数”;函数y=|x|, x∈[-1,0]与函数y=|x|,x∈[0,1],定义域不同,值域都为[0,1],解析式一样,故y=|x|可用来构造“同族函数”.故选BCD. 9.已知幂函数f(x)=xm-2(m∈N)的图像关于原点对称,且在(0,+∞)上是减函数,若(a+1<(3-2a,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:因为幂