第四章 指数函数、对数函数与幂函数 章末总结-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第二册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

章末总结 网络构建 知识辨析 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里打“√”,错误的打“×”. 1.(-1=(-1=.(　×　) 2.函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数.(　√　) 3.若am>an,则m>n.(　×　) 4.若MN>0,则loga(MN)=logaM+logaN.(　×　) 5.logax·logay=loga(x+y).(　×　) 6.函数y=log2x及y=lo(3x)都是对数函数.(　×　) 7.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上是增函数.(　×　) 8.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像过定点(1,0),且过点(a,1),(,-1),函数图像只在第一、第四象限.(　√　) 9.当n>0时,幂函数y=xn在(0,+∞)上是增函数.(　√　) 10.在(0,+∞)内,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度.(　√　) 题型一　指数、对数的运算问题 [典例1] (1)(2022·吉林长春模拟)设m=265+1,n=245,则约等于(参考数据:lg 2≈0.3)(　　) A.1020 B.103 C.106 D.109 (2)计算下列各式的值:(写出化简过程) ①-++[(0.06)-2.5-π0; ②ln(e)+log26+lo3+log23×log34. (1)解析:由题知m=265+1≈265,n=245,对m,n同取对数,得lg m≈lg 265=65lg 2,lg n=lg 245=45lg 2,lg m-lg n≈65lg 2-45lg 2≈20lg 2,即lg ≈20lg 2≈6,即≈106.故选C. (2)解:①原式=-++(0.-1=-+0.5+-1=3. ②原式=ln +log26-log23+×=+log2+×=+1+2=. (1)指数式的运算首先注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为指数运算,其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的. (2)对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧. 题型二　幂、指数、对数函数图像与性质的应用 [典例2] (1)当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax恒成立,则a的取值范围是(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(1,2] D.(0,) (2)(2021·云南曲靖模拟)函数y=f(x)的图像与函数g(x)=ex的图像关于直线y=x对称,则函数y=f(4+3x-x2)的单调递减区间为(　　) A.(-∞,] B.[,+∞) C.(-1,] D.[,4) 解析:(1)设f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax恒成立,只需f1(x)=(x-1)2在(1,2)上的图像恒在f2(x)=logax图像的下方即可,当0<a<1时,显然不成立. 当a>1时,如图,要使在(1,2)上,f1(x)=(x-1)2的图像恒在f2(x)=logax图像的下方,只需f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤loga2,所以loga2≥1,所以1<a≤2.故选C. (2)由函数f(x)的图像与函数g(x)=ex的图像关于直线y=x对称知,函数f(x)是函数g(x)=ex的反函数,所以f(x)=ln x,即f(4+3x-x2)=ln(4+3x-x2),要使函数有意义,则4+3x-x2>0,即x2-3x-4<0,解得-1<x<4,设t=4+3x-x2,则函数在(-1,]上单调递增,在[,4)上单调递减.因为函数y=ln t在定义域上为增函数,所以由复合函数的单调性可知,函数y=f(4+3x-x2)的单调递减区间是[,4).故选D. (1)指数函数与对数函数的图像与性质都与底数a的取值密切相关,而幂函数的图像与性质与指数α密切相关.底数相同的指数函数、对数函数互为反函数,其单调性相同. (2)指数函数图像过定点(0,1),对数函数图像过定点(1,0),幂函数图像过定点(1,1),并且当指数α>0时,过定点(0,0),(1,1). 题型三　数(式)的大小比较 [典例3] (1)(2022·四川攀枝花模拟)已知a=,b=log2,c=log3,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>b>a (2)设a=21.1,b=0.53,c=log23,则a,b,c的大小关系是(　　) A.c<b<a B.b<c<a C.c<a<b D.b<a<c 解析:(1)a=>1,b=log2<1,c=log3<1, 又log2>log2=log3>log3