6.2.3 平面向量的坐标及其运算-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第二册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

6.2.3　平面向量的坐标及其运算 学习目标 1.通过学习平面直角坐标系内两点之间的距离,中点坐标公式,并掌握其应用,培养数学运算核心素养. 2.通过学习向量平行的坐标表示,并掌握灵活应用,培养逻辑推理、数学运算、数形结合核心素养. 1.平面向量的坐标 (1)向量垂直:平面上的两个非零向量a与b,如果它们所在的直线互相垂直,我们就称向量a与b垂直,记作a⊥b.规定零向量与任意向量都垂直. (2)向量的正交分解: 如果平面向量的基底{e1,e2}中,e1⊥e2,就称这组基底为正交基底.在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解. (3)一般地,给定平面内两个相互垂直的单位向量e1,e2,对于平面内的向量a,如果a=xe1+ye2,则称(x,y)为向量a的坐标,记作a=(x,y). 思考1:点的坐标与向量的坐标的联系与区别是什么? 答案: 区 别 表示形 式不同 向量a=(x,y)中间用等号连接,而点 A(x,y)中间没有等号 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置,a=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的方向,另外(x,y)既可以表示点,也可以表示向量,叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y) 联系 当平面向量的始点在原点时,平面向量的坐标与向量终点坐标相同 2.平面上向量的运算与坐标的关系 若平面上两个向量a,b满足a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)a=b的充要条件是x1=x2且y1=y2. (2)a+b=(x1+x2,y1+y2); ua+vb=(ux1+vx2,uy1+vy2); ua-vb=(ux1-vx2,uy1-vy2). (3)|a|=. 思考2:平面上向量坐标的运算适合多个向量吗? 答案:适合.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),c=(x3,y3),则a+b+c=(x1+x2+x3,y1+y2+y3),a+b-c=(x1+x2-x3,y1+y2-y3). 思考3:平面向量与有序实数对的对应关系是什么? 答案:如图所示,在直角坐标平面中,以原点O为起点作=a,则点A的位置由向量a唯一确定. 设=xi+yj,则向量的坐标(x,y)就是终点A的坐标;反过来,终点A的坐标(x,y)也就是向量的坐标.因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示. 3.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式 设A(x1,y1),B(x2,y2)为平面直角坐标系中的两点,则 (1)=(x2-x1,y2-y1). (2)AB=||=. (3)设线段AB的中点为M(x,y), 则x=,y=. 思考4:向量的坐标与A,B在坐标系中的具体位置有关吗? 答案:向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关. 4.向量平行的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),a∥b⇔x2y1=x1y2. 思考5:若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点共线,则A,B,C的坐标之间的关系是什么呢? 答案:因为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),所以=(x2-x1,y2-y1),=(x3-x2,y3-y2). 因为∥, 所以(x2-x1)(y3-y2)=(x3-x2)(y2-y1). 也可写成∥,(x3-x1)(y3-y2)=(x3-x2)(y3-y1). 线段定比分点的坐标公式 (1)线段定比分点的定义 如图所示,设点P(x,y)是线段P1P2上不同于P1,P2的点,且满足=λ,即=λ,λ叫做点P分有向线段所成的比,P点叫做有向线段的以λ为定比的定比分点. (2)定比分点的坐标表示 设点P(x,y)是线段P1P2上不同于P1,P2的点,且满足 =λ,P1(x1,y1),P2(x2,y2),则(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y), 即当>0时, 则点P的坐标为(,). 特别地,①当λ=1时,点P的坐标为(,),这就是线段P1P2的中点坐标公式; ②若λ<0,且λ≠-1,则点P在有向线段的延长线或其反向延长线上,由向量共线的坐标表示及共线向量基本定理同样可得点P的坐标为(,). 　求向量的坐标 [例1] 已知e1,e2是平面内两个相互垂直的单位向量,且a=4e1-3e2,则向量a的坐标为(　　) A.(4e1,3e2) B.(4e1,-3e2) C.(4,3) D.(4,-3) 解析:由向量坐标的定义可知,向量a的坐标为(4,-3).故选D. 求向量坐标的方法:(1)用互相垂直的单位向量e1,e2表示待求向量,例如a=xe1+ye2,则a=(x,y).(2)平移法,把向量的始点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标.(3)用表示向量的有向线段的终点的相应坐标减去始点的相应