6.2.2 直线上向量的坐标及其运算-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第二册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

6.2.2　直线上向量的坐标及其运算 学习目标 1.借助直线上向量的坐标表示,了解直线上向量的坐标的概念,能够表示直线上的向量的坐标,培养数学抽象的核心素养. 2.通过直线上向量的运算与坐标的关系,理解直线上向量的运算与坐标的关系,并能进行正确的运算,提升数学运算的核心素养. 1.直线上向量的坐标 (1)给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e,由共线向量基本定理可知,对于直线l上的任意一个向量a,一定存在唯一的实数x,使得a=xe,此时,x称为向量a的坐标. (2)为了求出直线上向量的坐标,可以选择以下两种方法: ①将向量用单位向量表示出来; ②将向量的始点平移到原点,读出终点的坐标. 思考1:若直线上给定了单位向量,那么直线上的向量唯一确定吗? 答案:唯一确定. 2.直线上向量的运算与坐标的关系 (1)直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等. (2)若直线上两个向量a,b的坐标分别为x1,x2, 则a+b的坐标为x1+x2. a-b的坐标为x1-x2. ua+vb的坐标为ux1+vx2. ua-vb的坐标为ux1-vx2. (3)若A(x1),B(x2)是数轴上两点,O为坐标原点, 则AB=||=|x2-x1|; 若M(x)为线段AB的中点,则x=. 思考2:直线上向量的坐标与其终点坐标相同吗? 答案:向量的坐标与其终点坐标不一定相同,由于向量的起点可以任意选取,若向量是以原点为起点的,则向量的坐标就与其终点的坐标相同;如果向量的起点不在坐标原点,则向量的坐标就与其终点坐标不同. 求直线上向量的坐标的方法: (1)将向量用直线上的单位向量表示出来. (2)将向量的起点移到原点,则终点的坐标即为向量的坐标. (3)写出直线上向量起点、终点的坐标分别为xA,xB,则的坐标为xB-xA. 　直线上向量的坐标 [例1] 如图所示,求a,b,c的坐标. 解:e为x轴正方向上的单位向量,a=-2e,所以a的坐标为-2. b=3e,所以b的坐标为3. c=-3e,所以c的坐标为-3. 求数轴上向量的坐标的方法: (1)将向量用单位向量表示出来. (2)把向量的始点平移到原点. 针对训练:已知e是直线l上的一个单位向量,a,b都是l上的向量,试写出a与b的坐标: (1)a=5e,b=-2e; (2)a=-e,b=-5e; (3)a=e,b=e. 解:(1)a的坐标为5,b的坐标为-2. (2)a的坐标为-,b的坐标为-5. (3)a的坐标为,b的坐标为. 　直线上向量的坐标运算 [例2] 已知直线上向量a的坐标为1,向量b的坐标为-1,求下列向量的坐标. (1)2a+3b;(2)-3a-2b;(3)2a-3b. 解:(1)2a+3b的坐标为2×1+3×(-1)=-1. (2)-3a-2b的坐标为-3×1-2×(-1)=-1. (3)2a-3b的坐标为2×1-3×(-1)=5. 已知直线上向量a,b的坐标分别为x,y,则ua±vb的坐标为ux±vy. 针对训练:(2021·山西大同高一检测)已知数轴上两点A,B的坐标分别为x1,x2,根据下列条件,分别求点A的坐标x1. (1)x2=-5,的坐标为-3; (2)x2=-1,||=2. 解:由题意,数轴上两点A,B的坐标分别为x1,x2, (1)由向量的坐标为x1-(-5)=-3, 所以x1=-8. (2)由||=|-1-x1|=2, 解得x1=1或x1=-3. 　数轴上两点间的距离及中点 坐标公式 [例3] 已知数轴上A,B,C三点的坐标分别为1,7,-3. (1)求,,的坐标和长度; (2)若CD=4,求点D的坐标; (3)若线段BE的中点坐标为2,求点E的坐标. 解:(1)因为A,B,C三点的坐标分别为1,7,-3, 所以的坐标为1-7=-6,||=6; 的坐标为-3-1=-4,||=4; 的坐标为7-(-3)=10,||=10. (2)设点D的坐标为x,因为CD=4, 所以的坐标为4或-4. 当的坐标为4时,有x-(-3)=4,解得x=1. 当的坐标为-4时,有x-(-3)=-4,解得x=-7. 所以点D的坐标为1或-7. (3)设点E的坐标为y,则2=,解得y=-3. 所以点E的坐标为-3. 若A(x1),B(x2)为数轴上两点,则的坐标为x2-x1,的坐标为x1-x2,||=|x2-x1|=|x1-x2|,线段AB的中点坐标为. 针对训练:已知A,B为数轴上的点,A(3),且的坐标为-2,求点B的坐标及线段AB中点M的坐标. 解:因为=-,设点B的坐标为x, 所以的坐标为-2=x-3,所以x=1, 所以点B的坐标为1,线段AB中点M的坐标为=2. 1.数轴上A,B的坐标为-3,5,则A,B的距离AB等于(　C　) A.5 B.3 C.8 D.2 解析:AB=||=|5-