4.3 指数函数与对数函数的关系-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第二册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

4.3　指数函数与对数函数的关系 学习目标 1.通过反函数的概念及指数函数与对数函数图像间关系的学习,了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,以及它们的图像间的对称关系.培养直观想象的核心素养. 2.通过指数函数与对数函数综合应用的学习,能够利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异.提升数学运算、逻辑推理的核心素养. 3.在掌握指数函数与对数函数图像与性质的基础上,能够利用指数函数、对数函数的图像性质解决一些简单问题,提升分析问题与解决问题、读图与识图的核心素养. 1.反函数 (1)反函数的概念: 一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有唯一的x与之对应,那么x是y的函数,这个函数称为y=f(x)的反函数.此时,称y=f(x)存在反函数. (2)反函数的记法:函数y=f(x)的反函数记作y=f-1(x). 2.指数函数与对数函数的关系 (1)指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数. (2)指数函数y=ax与对数函数y=logax的图像关于直线y=x对称. 思考1:函数y=2x与y=log2x的定义域与值域有何关系? 答案:y=2x的定义域为R,值域为(0,+∞),而y=log2x的定义域为(0,+∞),值域为R,即它们的定义域和值域互换. 思考2:函数y=2x与y=log2x的图像有什么关系?它们的单调性有什么关系? 答案:函数y=2x与y=log2x的图像关于直线y=x对称,它们的单调性相同. 反函数的性质 (1)y=f(x)的定义域与y=f-1(x)的值域相同,y=f(x)的值域与y=f-1(x)的定义域相同. (2)y=f(x)与y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称. (3)单调函数的反函数一定存在,且互为反函数的两个函数的单调性相同.即如果y=f(x)是单调函数,那么它的反函数y=f-1(x)一定存在.此时,若y=f(x)是增函数,则y=f-1(x)也是增函数;若y=f(x)是减函数,则y=f-1(x)也是减函数. (4)由性质可知,若函数y=f(x)的图像上有一点(a,b),则点(b,a)必在其反函数的图像上;反之,若点(b,a)在y=f(x)的反函数的图像上,则点(a,b)必在函数y=f(x)的图像上. (5)特别地,若互为反函数的两个函数是同一个函数,则该函数的图像关于直线y=x对称,如反比例函数y=(k≠0). 　求函数的反函数 [例1] 求下列函数的反函数. (1)f(x)=()x;(2)f(x)=5x+1; (3)f(x)=x2(x≤0). 解:(1)由y=f(x)=()x, 得x=loy,且y>0, 所以f-1(x)=lox(x>0). (2)由y=f(x)=5x+1,得x=, 所以f-1(x)=(x∈R). (3)由y=f(x)=x2得x=±. 因为x≤0,所以x=-. 所以f-1(x)=-(x≥0). 求反函数的一般步骤: (1)求值域:由函数y=f(x)求y的范围. (2)解出x:由y=f(x)解出x=f-1(y).若求出的x不唯一,要根据条件中x的范围取舍,只取一个. (3)得反函数:将x,y互换得y=f-1(x),注意反函数的定义域. 提醒:求反函数时,若原函数y=f(x)的定义域有限制条件,其反函数的定义域只能是根据原函数的值域来求.　 针对训练:(1)函数y=-(x≤1)的反函数是(　　) A.y=x2-1(-1≤x≤0) B.y=x2-1(0≤x≤1) C.y=1-x2(x≤0) D.y=1-x2(0≤x≤1) (2)函数y=ln(2x)(x>0)的反函数是(　　) A.y=ex(x∈R) B.y=e2x(x∈R) C.y=2ex(x∈R) D.y=(x∈R) 解析:(1)因为x≤1,所以-x≥-1,1-x≥0,所以≥0,所以-≤0,所以y≤0.由此可知反函数为y=1-x2,定义域为(-∞,0].故选C. (2)由y=ln(2x)(x>0),得x=ey,所以所求的反函数是y=ex(x∈R).故选A. 　互为反函数的关系 [例2] (1)函数f(x)=log2(3x+1)的反函数的定义域为(　　) A.(1,+∞) B.[0,+∞) C.(0,+∞) D.[1,+∞) (2)已知函数f(x)=ax+b(a>0且a≠1)的图像过点(1,7),其反函数的图像过点(4,0),则f(x)=　　　　.  解析:(1)函数f(x)的反函数的定义域即为函数f(x)的值域,因为3x+1>1,所以log2(3x+1)>0.故选C. (2)因为反函数的图像过点(4,0),所以y=f(x)的图像过点(0,4),所以1+b=4,所以b=3,又因为f(x)=ax+b的图像过点(1,7),所以a+b=7,所以a=4.所以f(x)=4x+3. 答案:(1)C　(