2.2.4 均值不等式及其应用-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，人教B版）

2.2.4　均值不等式及其应用 选题明细表 知识点、方法 题号 利用均值不等式求最值 2,3,4,5,6, 7,8,10,11 利用均值不等式证明不等式 1,9 均值不等式的实际应用 12 基础巩固 1.下列不等式中正确的是(　D　) A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab C.≥ D.x2+≥2 解析:a<0,则a+≥4不成立,故A错;a=1,b=1,则a2+b2<4ab,故B错, a=4,b=16,则<,故C错;由均值不等式可知D项正确.故选D. 2.(多选题)下列函数,最小值为2的是(　BD　) A.y=x+ B.y=x2-2x+3 C.y=x+2+3 D.y= 解析:A中x的正负无法确定,A错误; B中y=x2-2x+3=(x-1)2+2,最小值为2,B正确; C中y=x+2+3=(+1)2+2,当x=0时,其最小值为3,C错误; D中y==+≥2(当且仅当=,即x=0时,取等号),D正确.故选BD. 3.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为(　B　) A.16 B.25 C.9 D.36 解析:(1+x)(1+y)≤[] 2=[] 2=() 2=25,当且仅当1+x=1+y,即x=y=4时,(1+x)(1+y)取最大值25.故选B. 4.(2021·贵州威宁高一期中)已知a>0,当4a+取最小值时,则a等于(　A　) A. B.6 C.9 D.12 解析:因为4a+≥2=12,当且仅当4a=,即a=或a=-(舍去)时,等号成立,所以当4a+取最小值时,a=. 故选A. 5.函数y=2-x-(x>0)的取值范围为　　　　.  解析:当x>0时,y=2-(x+)≤2-2=-2,当且仅当x=,即x=2时,取等号. 答案:(-∞,-2] 能力提升 6.(多选题)设a>1,b>1,且ab-(a+b)=1,那么(　AD　) A.a+b有最小值2(+1) B.a+b有最大值(+1)2 C.ab有最大值3+2 D.ab有最小值3+2 解析:因为a>1,b>1, 所以a+b≥2,当且仅当a=b时,取等号, 所以1=ab-(a+b)≤ab-2, 解得≥ +1, 所以ab≥(+1)2=3+2, 所以ab有最小值3+2; 因为ab≤() 2,当且仅当a=b时,取等号, 所以1=ab-(a+b)≤() 2-(a+b), 所以(a+b)2-4(a+b)≥4, 所以[(a+b)-2]2≥8,解得a+b-2≥2,即a+b≥2(+1),所以a+b有最小值2(+1).故选AD. 7.若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是　　　　.  解析:因为x>0,所以x+≥2, 当且仅当x=1时,取等号,所以有 =≤=, 即的最大值为,故a≥. 答案:[,+∞) 8.若a,b∈R,ab>0,则的最小值为　　　　.  解析:因为ab>0,所以≥=4ab+≥2=4,当且仅当即时,取等号,故的最小值为4. 答案:4 9.已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1. 求证:(-1)(-1)(-1)≥8. 证明:因为a+b+c=1,a>0,b>0,c>0, 所以-1=-1=≥>0, -1=-1=≥>0, -1=-1=≥>0, 将以上三式相乘得(-1)(-1)(-1)≥=8. 10.对于题目:已知m>0,n>0,且mn=1,求A=m+2n++的最小值. 同学甲的解法:因为m>0,n>0,所以>0,>0,从而m+2n++=(m+)+ (2n+)≥2+2=8. 所以A的最小值为8. 同学乙的解法:因为m>0,n>0, 所以m+2n++=m+2n+=3(m+2n)≥6=6. 当且仅当m=2n= 时,等号成立. 所以A的最小值为6. (1)请对两名同学的解法正确性作出评价; (2)为巩固学习效果,老师布置了另外一道题,请你解决: 已知a>0,b>0,且(a+1)(b+2)=6,求B=a+b++的最小值. 解:(1)甲错误,乙正确,甲同学连续两次运用均值不等式,取等号的条件为m=2,n=1,则mn=2≠1,故不能保证可以同时取“=”. (2)B=a+b+=a+b+b+2a+4=3a+2b+4=3(a+1)+2(b+2)-3≥2-3=9, 当且仅当 即时,取“=”.故B的最小值为9. 应用创新 11.(多选题)(2021·湖南长沙高一开学考试)已知x+y=1,y>0,x≠0,则+的值可能是(　BCD　) A. B.1 C. D. 解析:由x+y=1,y>0,x≠0,得y=1-x>0, 则x<1,且x≠0. 当0<x<1时,+=+=+=++≥+2=, 当且仅当=,即x=时,取等号. 当x<0时,+=+=+=-++≥-+2=,当且仅当