第一章 3.2 基本不等式-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，北师大版）

3.2　基本不等式 第1课时　基本不等式(一) 基础巩固 1.若a,b∈R,则a2+b2与2|ab|的大小关系是(　A　) A.a2+b2≥2|ab| B.a2+b2=2|ab| C.a2+b2≤2|ab| D.a2+b2>2|ab| 解析:a2+b2=|a|2+|b|2≥2|ab|.故选A. 2.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是(　B　) A.a=±1 B.a=1 C.a=-1 D.a=0 解析:由a2+1=2a,得a=1,即a=1时,等号成立.故选B. 3.给出下列条件: ①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0. 其中可使+≥2成立的个数是(　C　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:显然①③④成立.故选C. 4.已知a>0,b>0,且ab=2,那么(　C　) A.a+b≥4 B.a+b≤4 C.a2+b2≥4 D.a2+b2≤4 解析:a+b≥2=2,所以A,B错误;a2+b2≥2ab=4,所以C正确;D错误.故选C. 5.已知a,b是不相等的正数,x=,y=,则x,y的大小关系是　　　　.  解析:x2=,y2=a+b=. 因为a+b>2(a≠b),所以x2<y2, 因为x>0,y>0,所以x<y. 答案:x<y 6.不等式+(x-2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是　　　.  解析:由基本不等式知等号成立的条件为=x-2,即x=5(x=-1舍去). 答案:x=5 能力提升 7.某人从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则(　A　) A.a<v< B.v= C.<v< D.v= 解析:设甲、乙两地的距离为s, 则v==. 由于a<b,所以+<,所以v>a, 又+>2, 所以v<.故a<v<.故选A. 8.(多选题)若a>0,b>0且a+b=4,则下列不等式恒成立的是(　CD　) A.0<≤ B.<2 C.+≥1 D.≤ 解析:A选项,由≤=2,所以ab≤4. 因为ab>0,所以≥,故A项错误; B选项,≤=2,当且仅当a=b=2时,取等号,故B项错误; C选项,+≥2=≥2×=1,故C项正确; D选项,由a2+b2≥=8,所以≤,故D项正确.故选CD. 9.(多选题)下列命题中正确的是(　ABC　) A.当x≥1时,x+≥2 B.当x<0时,x+≤-2 C.当0<x<1时,+>2 D.当x>2时,+≥2 解析:A选项,由x≥1,得x+≥2=2,等号成立的条件是x=⇒ x=1,故A正确; B选项,当x<0时,-x>0,x+=-[(-x)+]≤-2=-2,等号成立的条件是x=-1,所以当x<0时,x+≤-2,故B正确; 显然C正确; D选项,当x>2时,+≥2=2,等号成立的条件是=,即x=2,但条件为x>2,所以等号取不到,所以+>2,故D不正确.故选ABC. 10.设a>0,b>0,给出下列不等式: ①a2+1>a;②(a+)(b+)≥4;③(a+b)(+)≥4;④a2+9>6a. 其中恒成立的是　　　　(填序号).  解析:由于a2+1-a=(a-)2+>0,故①恒成立; 由于(a+)(b+)=ab+++≥2+2=4. 当且仅当即a=b=1时,等号成立, 故②恒成立; 由于(a+b)(+)=2++≥2+2=4.当且仅当=,即a=b时,等号成立,故③恒成立; 当a=3时,a2+9=6a,故④不恒成立. 综上,①②③恒成立. 答案:①②③ 11.设a>0,b>0,且a+b=+,证明:a+b≥2. 证明:由a>0,b>0,则a+b=+=, 由于a+b>0,则ab=1,即有a+b≥2=2, 当且仅当a=b时,取得等号,所以a+b≥2. 应用创新 12.设a>0,b>0,则称为a,b的调和平均数.如图,C为线段AB上的点,且AC=a,CB=b,O为AB中点,以AB为直径做半圆.过点C作AB的垂线交半圆于D.连接OD,AD,BD.过点C作OD的垂线,垂足为E.则图中线段OD的长度是a,b的算术平均值,线段　　　　的长度是a,b的几何平均值,线段　　　　的长度是a,b的调和平均数.  解析:在Rt△ADB中,DC为高,则由射影定理可得CD2=AC·CB, 故CD=,即CD的长度为a,b的几何平均值, 将OC=a-=,CD=,OD=代入OD·CE=OC·CD, 可得CE=·, 故OE==, 所以ED=OD-OE=, 故DE的长度为a,b的调和平均数. 答案:CD　DE 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　基本不等式(二) 基础巩固 1.设x,y为正数,则(x+y)(+)的最小值为(　B　) A.6 B.9 C.12 D.15 解析:(x+y)(+)=5++≥5+2=5+4=9.当且仅当y=2x时,等号成立.故选B