第一章 2.1 第2课时 充要条件-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，北师大版）

第2课时　充要条件 基础巩固 1.若A={x|0<x<1},B={x|x<4},则A是B的(　A　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件, 解析:由题意可得A⫋B, 所以A是B的充分不必要条件.故选A. 2.设a∈R,则“a2-1≥0”是“a≤-1”的(　B　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:当a=2时,a2-1=3>0,但不满足a≤-1, 故a2-1≥0a≤-1;当a≤-1时,|a|≥1, 故a2-1≥0,所以a≤-1⇒a2-1≥0, 所以“a2-1≥0”是“a≤-1”的必要不充分条件.故选B. 3.已知集合A={1,m2+1},B={2,4},则“m=”是“A∩B={4}”的(　A　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:若A∩B={4},则m2+1=4,所以m=±,而当m=时,m2+1=4,所以A∩B={4},故“m=”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.故选A. 4.设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的(　D　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:若a+b>0,取a=3,b=-2,则ab>0不成立;反之,若ab>0,取a=-2, b=-3,则a+b>0也不成立,因此“a+b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件.故选D. 5.“x,y均为奇数”是“x+y为偶数”的　　　　条件.  解析:当x,y均为奇数时,一定可以得到x+y为偶数;但当x+y为偶数时,不一定必有x,y均为奇数,也可能x,y均为偶数. 答案:充分不必要 6.p:两个三角形的三条边对应相等,q:两个三角形的三个角对应相等,r:两个三角形全等,则p是r的　　　　条件;q是r的　　 　　条件.  解析:p⇒r,r⇒p;qr,r⇒q,故p是r的充要条件,q是r的必要不充分条件. 答案:充要　必要不充分 能力提升 7.(多选题)在下列各选项中,p是q的充要条件的是(　AC　) A.p:A⊆B,q:A∩B=A B.p:a=b,q:|a|=|b| C.p:|x|+|y|=0,q:x=y=0(x,y∈R) D.p:a,b都是偶数,q:a+b是偶数 解析:A,C中,p都是q的充要条件;B中,p是q的充分不必要条件;D中,p是q的充分不必要条件.故选AC. 8.(多选题)设计如图所示的四个电路图,若p:开关S闭合,q:灯泡L亮,则符合p是q的充要条件的电路图是(　BD　) 解析:A中,开关S闭合则灯泡L亮,而灯泡L亮时开关S不一定闭合,故p是q的充分不必要条件;B中,开关S闭合则灯泡L亮,灯泡L亮则开关S一定闭合,故p是q的充要条件;C中,开关S闭合时灯泡L不一定亮,灯泡L亮则开关S一定闭合,故p是q的必要不充分条件;D中,开关S闭合则灯泡L亮,灯泡L亮则开关S一定闭合,故p是q的充要条件.故选BD. 9.“k>4,b<5”是“一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴”的　　　　条件.  解析:因为k>4时,k-4>0,b<5时,b-5<0, 所以直线y=(k-4)x+b-5交y轴于负半轴,交x轴于正半轴; y=(k-4)x+(b-5)与y轴交于(0,b-5),与x轴交于(,0), 由交y轴于负半轴,交x轴于正半轴可知所以所以“k>4,b<5”是“一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴”的充要条件. 答案:充要 10.求“关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实数根”的充要 条件. 解:当a=0时,x=-符合题意. 当a≠0时,令y=ax2+2x+1. 因为当x=0时,y=1>0, 所以若a>0,则-<0,>0, 所以只要Δ=4-4a≥0,即a≤1,所以0<a≤1. 若a<0,则<0,Δ=4-4a>0, 方程恒有两异号实数根. 综上所述,“关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实数根”的充要条件是“a≤1”. 11.求证:方程x2+ax+1=0(x∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>,这个条件是其充分条件吗?为什么? 证明:因为方程x2+ax+1=0(a∈R)有两实根, 则Δ=a2-4≥0,所以a≤-2或a≥2. 设方程x2+ax+1=0(a∈R)的两实根分别为x1,x2,则 +=(x1+x2)2-2x1x2=a2-2>3.所以|a|>>. 所以方程x2+ax+1=0(a∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>; 但当a=2时,+=2<3.因此这个条件不是其充分条件. 应用创新 12. 已知p:x<-2或x>3,q:4x+m<0,若p是q的必要不充分条件,求实数