第三章 3 指数函数-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

§3　指数函数 3.1　指数函数的概念 3.2　指数函数的图象和性质 第1课时　指数函数的图象和性质 学习目标 1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,提升数学抽象的核心素养. 2.能从实例中归纳出指数函数的图象和性质,提升逻辑推理与直观想象的核心素养. 1.指数函数的概念 根据指数幂的定义,当给定正数a,且a≠1时,对于任意的实数x,都有唯一确定的正数y=ax与之对应.因此,y=ax是一个定义在实数集上的函数,称为指数函数. 思考1:指数函数定义中为什么规定a>0,且a≠1? 提示:①如果a=0,当x>0时,ax恒等于0,无研究的必要;当x≤0时,ax无意义. ②如果a<0,例如y=(-4)x,这时对于x=,,…,在实数范围内的函数值不存在. ③如果a=1,则y=1x是一个常量,无研究的必要. 为了避免上述各种情况,所以规定a>0,且a≠1. 思考2:由指数函数的定义看,函数y=ax(a>0,且a≠1)的值域是什么? 提示:(0,+∞). 思考3:指数函数与幂函数的解析式有什么区别? 提示:指数函数是形如y=ax(a>0且a≠1)的函数,其自变量在指数位置上,而幂函数是形如y=xα的函数,其自变量在底数位置上. 问题:(1)你能在同一平面直角坐标系中用描点法画出y=2x及y=()x的图象吗? (2)结合图象你发现它们有什么特点和联系了吗? 提示:(1)列表: x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 y=2x … 0.25 0.35 0.5 0.71 1 y=()x … 4 2.83 2 1.41 1 x 0.5 1 1.5 2 … y=2x 1.41 2 2.83 4 … y=()x 0.71 0.5 0.35 0.25 … 描点并连线: (2)共同点:都在x轴上方,都过点(0,1). 不同点:y=()x的图象是下降的,y=2x的图象是上升的. 联系:二者关于y轴对称. 2.指数函数的图象与性质 图象和 性质 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 R 值域 (0,+∞) 过定点 (0,1),即当x=0时,y=1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y=ax与y=a-x的图象关于y轴对称 思考4:指数函数y=ax(a>0,且a≠1)图象的“升”与“降”,由什么决定? 提示:底数a的大小.当a>1时,函数图象具有上升的趋势;当0<a<1时,图象具有下降的趋势. 思考5:在平面直角坐标系中指数函数图象不能出现在第几象限? 提示:指数函数图象只能出现在第一、第二象限,不可能出现在第三、第四象限. 思考6:指数函数y=ax(a>0,且a≠1)中底数a对函数图象有什么影响? 提示:设a>b>1>c>d>0,则y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象如图, 从图中可以看出:在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小,在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小,即无论在y轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大. 指数函数的概念 [例1] (1)下列函数:①y=6x;②y=x4;③y=-4x;④y=(-4)x;⑤y=8x(x∈N+);⑥y=ex(无理数e=2.718 28…);⑦y=;⑧y=(2a-1)x(a>,a≠1).其中是指数函数的是　　　　(填序号).  (2)若指数函数f(x)的图象经过点(2,9),求f(x)及f(-1). (1)解析:根据指数函数的定义进行判断得①⑥⑧为指数函数. ②中自变量不在指数上;③是-1与指数函数4x的乘积;④中底数-4<0;⑤中定义域不是R;⑦中指数不是x,而是x2,故②③④⑤⑦都不是指数函数. 答案:①⑥⑧ (2)解:设f(x)=ax(a>0,且a≠1), 将点(2,9)代入解析式得a2=9, 解得a=3(a=-3舍去), 即f(x)=3x, 所以f(-1)=3-1=. 判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y=ax(a>0,且a≠1)这一结构形式,其具备的特点为 针对训练:若y=(a2-3a+3)ax是指数函数,则　(　　) A.a=1或2 B.a=1 C.a=2 D.a>0,且a≠1 解析:由y=(a2-3a+3)ax是指数函数, 得 所以a=2.故选C. 指数(型)函数的图象 角度1　根据指数(型)函数图象确定解析式中的参数 [例2] 若函数y=ax-(b+1)(a>0,且a≠1)的图象经过第一、第三、第四象限,则必有(　　) A.0<a<1,b>0 B.0<a<1,b<0 C.a>1,b<0 D.a>1,b>0 解析:法一　由指数函数y=ax(a>1)图象的性质知函数y=