第三章 1-2 指数幂的拓展&指数幂的运算性质-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

§1　指数幂的拓展 §2　指数幂的运算性质 学习目标 1.通过指数幂拓展的学习,理解n次方根及根式的概念,能正确运用根式运算性质进行运算,提升数学抽象的核心素养. 2.理解分数指数幂的含义,掌握根式与分数指数幂的互化,提升数学运算的核心素养. 3.掌握有理数指数幂的运算性质,提升数学运算的核心素养. 　　牛顿在写给莱布尼茨的信里面说:“因为数学家将aa,aaa,aaaa等写成a2,a3,a4等,所以可将,,…写成,,…;将,,,…写成a-1,a-2,a-3,….”正是由于牛顿的这一发现,才使得正整数指数幂推广到了任意实数指数幂. 1.分数指数幂的意义 分 数 指 数 幂 正分数 指数幂 给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),若存在唯一的正数b,使得bn=am,则称b为a的次幂,记作b=.规定:=(a>0,m,n∈N+,n>1且m,n互素) 负分数 指数幂 规定:==(a>0,m,n∈N+,n>1且m,n互素) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 思考1:在分数指数幂与根式的互化公式=中,为什么必须规定a>0? 提示:①若a=0,0的正分数指数幂恒等于0,即==0,无研究 价值. ②若a<0,=不一定成立,如(-2=无意义,故为了避免上述情况规定了a>0. 思考2:分数指数幂能理解为个a相乘吗?如何理解其意义呢? 提示:不能.分数指数幂不可以理解为个a相乘.事实上,它是根式的一种新写法.对于(a>0)意义的理解,除可以根据定义外,也可以借助根式理解:将(a>0)看成根式,由此可以看出就是正数am的n次方根,如==(即27的4次算术根). 2.指数幂的运算性质 对于任意正数a,b和实数α,β,实数指数幂均满足下面的运算性质: (1)aα·aβ=aα+β; (2)(aα)β=aαβ; (3)(ab)α=aαbα. (1)根式及相关概念. ①a的n次方根.如果xn=a,那么x叫作a的n次方根,其中n>1,且n∈N+. ②a的n次方根的表示. n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0,+∞) ③根式.式子叫作根式,这里n叫作根指数,a叫作被开方数. (2)根式的性质(n>1,且n∈N+). ①当n为奇数时,=a. ②当n为偶数时,=|a|= ③=0. ④负数没有偶次方根. 根式 [例1] (1)式子+()3的值等于　　　　.  (2)+(a<b<0,n>1且n∈N+). (1)解析:依题意,原式=|-2|+(-2)=2-2=0. 答案:0 (2)解:当n是奇数时,原式=(a-b)+(a+b)=2a; 当n是偶数时, 因为a<b<0, 所以a-b<0,a+b<0, 所以原式=-(a-b)-(a+b)=-2a. 所以+= (1)()n与的理解:()n是实数a的n次方根的n次幂,其中实数a的取值由n的奇偶性来决定:当n为大于1的奇数时,()n=a(a∈R);当n为大于1的偶数时,()n=a(a≥0).而是实数an的n次方根,是一个恒有意义的式子,不受n的奇偶性的限制,因此a∈R,但是该式子的值受n的奇偶性限制= (2)根式化简的思想是将根式有理化,利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式),将所求代数式通过恰当地变形,达到化繁为简的目的. 针对训练:化简下列各式. (1)+; (2)++. 解:(1)因为=|3-π|=π-3, =-π-3. 所以原式=π-3-π-3=-6. (2)原式=|-5|++=5+2-3=4. 根式与分数指数幂 [例2] 用分数指数幂的形式表示下列各式: (1)(a>0); (2)((b>0); (3)(x>0,y>0). 解:(1)====. (2)原式=[(==. (3)法一　从外向里化为分数指数幂. =() =[()] =([()]) =()·()·() =··==. 法二　从里向外化为分数指数幂. ====(·x)=. (1)根式与分数指数幂互化的关键是准确把握两种形式中相关数值的对应. ①根指数↔分数指数的分母; ②被开方数(式)的指数↔分数指数的分子. (2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条:一是由里向外化为分数指数幂;二是由外向里化为分数指数幂. 针对训练:将下列根式化为分数指数幂的形式: (1)m2·(m>0); (2)(m>0); (3)(a>0,b>0). 解:(1)m2·=m2·==. (2)===(=. (3)原式=[ab3(ab5=[a·b3·(b5 =(=. 指数幂运算性质 [例3] 计算下列各式: (1)0.008 1-0.25-[3×()0]-1×[81-0.25+(3)]-0.5-10×0.02; (2)(×)6+(-4