第六章 4 用样本估计总体的数字特征-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

§4　用样本估计总体的数字特征 4.1　样本的数字特征 4.2　分层随机抽样的均值与方差 4.3　百分位数 学习目标 1.结合实例,能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数),理解集中趋势参数的统计含义,提升数学运算、数据分析的核心素养. 2.结合实例,能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差),提升数学运算、数据分析的核心素养. 3.理解百分位数的统计含义,能够用样本估计百分位数,提升数学抽象与数学运算的核心素养. 　问题1:我们在初中已经学过样本的平均数、中位数、众数、极差、方差,平均数、中位数和众数从不同角度反映了数据的集中趋势,极差和方差都刻画数据的离散程度. 在以上5个特征数中,哪些特征数与样本的每一个数字都有关系?哪些特征数只与样本的个别数字有关? 提示:平均数、方差与样本的每一个数字都有关系; 中位数、众数、极差只与样本的个别数字有关. 1.样本的数字特征 给定一组数据x1,x2,…,xn, 平均数:=,是指一组数据的平均值. 方差:s2=. 由于方差的单位是原始数据单位的平方,而刻画离散程度的一种理想度量应当具有与原始数据相同的单位.为此,计算方差的算术平方根,得s==,称之为标准差. 方差和标准差都刻画一组数据偏离平均数的离散程度. 极差:数据中最大值和最小值的差,从最值方面刻画数据的离散程度. 中位数:将一组数据按从小到大的顺序排列后,“中间”的那个数据为这组数据的中位数(当n为奇数时,中位数是第项,当n为偶数时,中位数是第项和第+1项的平均数),它使数据被分成的两部分的数据量是一样的. 众数:一组数据中出现次数最多的数据,反映一组数据的多数水平. 思考1:一组数据的中位数唯一吗?是不是数据中的数? 提示:一组数据的中位数只有唯一一个,不一定是数据中的数. 2.分层随机抽样的平均数 一般地,将样本a1,a2,…,am和样本b1,b2,…,bn合并成一个新样本,则这个新样本的平均数为=·+·.于是,当已知上述两层构成的新样本中每层的平均数分别为 和 时,可得这个新样本的平均数为 +.记w1=,w2=,则这个新样本的平均数为w1+w2,其中w1,w2称为权重. 更一般地,设样本中不同层的平均数和相应权重分别为 ,,…,和w1,w2,…,wn,则这个样本的平均数为w1+w2+…+wn,记作w1+w2+…+wn=wi. 思考2:分层随机抽样的平均数公式与加权平均数公式有什么关系? 提示:二者是一般与特殊的关系.当w1=w2=…=wn=,f1=f2=…=fn=1时,二者是一致的,都是平均数公式=. 问题2:我们知道,样本中不同层的平均数和相应的权重分别为,,…,和w1,w2,…,wn,则这个样本的平均数为=w1+w2+…+wn.那么,样本中不同层的方差和相应的权重分别为,,…,和w1,w2,…,wn,则样本的方差为s2=w1+w2+…+wn,这个命题是真命题吗?如果是真命题,给出证明;如果是假命题,举一反例. 提示:假命题.反例:数据组1,1的方差为0,数据组2,2,2的方差也是0,它们组成的新数据组为1,1,2,2,2,这组数据的方差显然不是0. 3.分层随机抽样的方差 设样本中不同层的平均数分别为,,…,,方差分别为,,…,,相应的权重分别为w1,w2,…,wn,则这个样本的方差为s2=wi[+],其中为这个样本的平均数. 4.百分位数 一般地,当总体是连续变量时,给定一个百分数p∈(0,1),总体的p分位数有这样的特点:总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p. 25%,50%,75%分位数是三个常用的百分位数,也称为总体的四分位数.其他常用的百分位数有1%,5%,10%,90%,95%,99%. 思考3:总体的p分位数通常是未知的,用样本的p分位数去估计它时,估计的准确率与样本容量有什么关系? 提示:样本容量越大,估计越准确. (1)一组数据的众数可能有一个,也可能有多个,若数据中有两个或两个以上出现的最多,且出现次数一样多,则这些数据都是众数. (2)在实际的比赛中,去掉一个最高分与一个最低分的目的是消除极端分数对比赛的影响. (3)标准差、方差的意义. ①标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小; ②标准差、方差的取值范围:[0,+∞); ③当一组数据都相等时,该组数据的方差是0,说明该组数据没有波动. (4)关于平均数、方差的有关性质及规律. ①若x1,x2,…,xn的平均数为,那么mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均数是m+a; ②数据x1,x2,…,xn与数据x1+a,x2+a,…,xn+a的方差相等; ③若x1,x2,…,xn的方差为s2,那么ax1,ax2,…,axn的方差为