第二章 4.2 简单幂函数的图象和性质-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

4.2　简单幂函数的图象和性质 学习目标 1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式,提升数学抽象的核心素养. 2.以五个常见的幂函数为载体,归纳幂函数的图象与性质,提升学生的直观抽象、逻辑推理的核心素养. 给出下列五个问题: ①如果某人购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么此人需要支付p=w元,这里p是w的函数. ②如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数. ③如果正方体的棱长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数. ④如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长a=,这里a是S的函数. ⑤如果某人t s内骑车行进了1 m,那么他骑车的平均速度v=t-1 m/s,这里v是t的函数. 探究:上述5个问题中,若自变量都用x表示,因变量用y表示,则对应的函数关系式分别是什么?这些函数解析式有什么特征? 答案:①y=x,②y=x2,③y=x3,④y=,⑤y=x-1. 它们的自变量都在底数上,均可以表示为y=xα的形式. 1.幂函数的概念 一般地,形如y=xα(α为常数)的函数,即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数. 2.幂函数的图象与性质 解析式 y=x y=x2 y=x3 y=x-1 y= 图象 定义域 R R R {x|x≠0} [0,+∞) 值域 R [0,+∞) R {y|y≠0} [0,+∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 单调性 在(-∞,+∞) 上单调递增 在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增 在(-∞,+∞) 上单调递增 在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递减 在[0,+∞)上单调递增 定点 (1,1) 一般幂函数的图象特征 (1)所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都过点(1,1). (2)当α>0时,幂函数的图象过原点,并且在区间[0,+∞)上单调递增.特别地,当α>1时,幂函数的图象下凸;当0<α<1时,幂函数的图象上凸. (3)当α<0时,幂函数在区间(0,+∞)上单调递减. (4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y=x对称. (5)在第一象限,作直线x=a(a>1),它同各幂函数图象相交,按交点从下到上的顺序,幂指数按从小到大的顺序排列. 幂函数的概念 [例1] 已知y=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数,求m,n的值. 解:由题意得 解得或 所以m=-3或1,n=. 判断一个函数是不是幂函数的依据是该函数是不是y=xα(α为常数)的形式,即:(1)系数为1.(2)指数为常数.(3)后面不加任何项. 针对训练:下列函数:①y=x3;②y=x2+2x;③y=4x2;④y=x5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x. 其中幂函数的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:②为多项式,③中系数不是1,④中解析式为多项式,⑤中底数不是自变量本身,所以只有①⑥是幂函数.故选B. 幂函数的图象 [例2] 幂函数y=(m∈Z)的图象如图所示,则m的值为(　　) A.-2或0 B.-1 C.0 D.-2 解析:由幂函数在第一象限的单调性可得m2+2m-3<0,解得-3<m<1,再由m∈Z可得m=-2或-1或0.又从图象可知该函数是奇函数,若m=-2,y=x-3,符合题意;若m=-1,y=x-4,不符合题意,若m=0,y=x-3,符合题意.综上,m=-2或0.故选A. 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小. ①在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低); ②在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=或y=x3)来判断. 针对训练:幂函数y=x-1及直线y=x,y=1,x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个区域,分别标记为①,②,③,④,⑤,⑥,⑦,⑧(如图所示),那么幂函数y=的图象经过的区域对应的序号有(　　) A.④⑦ B.④⑧ C.③⑧ D.①⑤ 解析:因为x-=(-1),当0<x<1时,x-<0,即x<<1, 所以幂函数y=的图象经过区域①; 当x>1时,x->0,即x>>1, 所以幂函数y=的图象经过区域⑤.故选D. 幂函数性质的应用 角度1　利用幂函数的性质比较大小 [例3] 比较下列各组数的大小. (1)()0.5与()0.5; (2)(-)-1与(-)-1; (3)()与 . 解:(1)因为幂函数y=x0.5在[0,+∞)上单调递增,又>,所以()0.5>()0.5. (2)因为幂函数y=x-1在(-∞,0)