第二章 4.1 第2课时 函数奇偶性的应用-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

第2课时　函数奇偶性的应用 学习目标 1.通过函数的奇偶性的应用,提升数学抽象与数学运算的核心素养. 2.通过函数奇偶性与单调性的综合应用,进一步提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 　利用函数的奇偶性求函数的解析式 角度1　利用函数的奇偶性求函数的解析式 [例1] 已知函数y=f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+3x-2,求函数y=f(x)在x<0时的解析式. 解:设x<0,则-x>0,因此f(-x)=(-x)2+3(-x)-2=x2-3x-2. 由y=f(x)是奇函数可知f(-x)=-f(x)=x2-3x-2, 因此f(x)=-x2+3x+2即为函数y=f(x)在x<0时的解析式. 变式探究1:本例已知条件不变,求函数y=f(x)在(-∞,+∞)上的解析式. 解:由y=f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数可知f(0)=0, 结合当x>0时,f(x)=x2+3x-2,当x<0时,f(x)=-x2+3x+2可知函数在(-∞,+∞)上的解析式为f(x)= 变式探究2:本例将已知条件中的“奇函数”改为“偶函数”,其余条件不变,求函数y=f(x)在x<0时的解析式. 解:设x<0,则-x>0,因此f(-x)=(-x)2+3(-x)-2=x2-3x-2, 由y=f(x)是偶函数可知f(-x)=f(x), 因此f(x)=x2-3x-2. 所以当x<0时,f(x)=x2-3x-2. 利用函数的奇偶性求解析式的方法 (1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设. (2)要利用已知区间的解析式进行代入. (3)利用函数f(x)的奇偶性写出-f(x)与f(-x)的关系,从而解出f(x). 提醒:若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,但若为偶函数,未必有f(0)=0. 角度2　已知奇偶函数的四则运算关系式,求函数解析式 [例2] 函数f(x)=(x-1)2可以表示为奇函数h(x)与偶函数g(x)的和,求函数y=h(x)与函数y=g(x)的解析式. 解:因为h(x)是奇函数,所以h(-x)=-h(x), 因为g(x)是偶函数,所以g(-x)=g(x). 由题可得h(x)+g(x)=(x-1)2,① 则h(-x)+g(-x)=(-x-1)2, 即-h(x)+g(x)=(-x-1)2,② 由①+②可得2g(x)=(x-1)2+(-x-1)2=2x2+2, 所以g(x)=x2+1,h(x)=(x-1)2-(x2+1)=-2x. 求解与奇偶函数的和、差有关的解析式问题,主要利用奇偶函数的性质f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)构造方程组求解方程. 针对训练:已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=　　　　.  解析:在f(x)-g(x)=x3+x2+1中, 令x=-1,得f(-1)-g(-1)=1, 又f(-1)=f(1),g(-1)=-g(1), 所以f(1)+g(1)=1. 答案:1 根据函数的奇偶性求参数 [例3] 若函数f(x)=ax2+2bx+4a+b是偶函数,定义域为[3a,a+2],则a+b=　　　　.  解析:因为函数f(x)是偶函数,所以定义域关于原点对称,则3a+a+2=0,解得a=-. 所以f(x)=ax2+2bx+4a+b=-x2+2bx-2+b, 因为偶函数关于y轴对称,则-=2b=0,解得b=0, 所以a+b=-+0=-. 答案:- 利用函数奇偶性求参数的方法 (1)定义域含参数.奇、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,即a+b=0,求参数. (2)解析式含参数.根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数求解.(或者利用特殊值如f(2)=f(-2),f(0)=0等直接求解) 针对训练:设函数f(x)=为奇函数,则a=　　　　.  解析:法一(定义法)　由已知f(-x)=-f(x), 即=-. 显然x≠0,得x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a,故a+1=0,得a=-1. 法二(特值法)　由f(x)为奇函数得 f(-1)=-f(1), 即=-, 整理得a=-1. 答案:-1 　函数的单调性与奇偶性的综合应用 [例4] (1)设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈(-∞,0]时,f(x)单调递增,则f(),f(-),f(π)的大小关系是(　　) A.f(π)>f(-)>f() B.f(-)>f(π)>f() C.f(-)>f()>f(π) D.f(π)>f()>f(-) (2)已知定义在R上的偶函数f(x),在(-∞,0]上单调递减,且f(3)=0,则不等式(x+3)f(x)<0的解集是(　　) A.(-∞,-3)