第二章 4.1 第1课时 函数奇偶性的概念-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

§4　函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1　函数的奇偶性 第1课时　函数奇偶性的概念 学习目标 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的概念和几何意义,提升直观想象和数学抽象的核心素养. 2.能判断函数的奇偶性,能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题,提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 　　在我们的日常生活中,随时随处可以看到许许多多对称的现象,例如六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影等等. 函数的奇偶性 前提 一般地,设函数f(x)的定义域是D,如果对任意的x∈D,有-x∈D 条件 f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x) 结论 f(x)为奇函数 f(x)为偶函数 等价 形式 若f(x)≠0, 则=-1 若f(x)≠0, 则=1 (1)函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质,只有对其定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x)[或f(-x)=f(x)],才能说f(x)是奇(偶)函数. (2)函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件:定义域关于原点对称.换言之,若所给函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性.例如,函数y=x2在区间(-∞,+∞)上是偶函数,但在区间[-1,2]上却无奇偶性可言. (3)若奇函数在原点处有定义,则必有f(0)=0. (4)若f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数,既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一类,即f(x)=0,x∈D,D是关于原点对称的实数集. 判断函数的奇偶性 [例1] 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x3+x; (2)f(x)=+; (3)f(x)=; (4)f(x)=|x+3|+|x-3|. 解:(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称. 又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x), 因此函数f(x)是奇函数. (2)由得x2=1,即x=±1. 因此函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称. 又f(1)=f(-1)=-f(-1)=0, 所以f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称, 所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (4)函数f(x)的定义域是R,且f(-x)=|-x+3|+|-x-3|=|x-3|+|x+3|=f(x), 因此函数f(x)是偶函数. 判断函数奇偶性的步骤:先看定义域是否关于原点对称;若不对称,则既不是奇函数也不是偶函数,若对称,则再看f(-x)与f(x)的关系,即f(-x)=±f(x)或f(-x)±f(x)=0. 易错警示:(1)若函数的解析式不是最简形式,需要等价变形后化简函数的解析式再判断函数的奇偶性. (2)函数解析式中含参数的需要对参数分类讨论. 针对训练:判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x4+2x2; (2)f(x)=; (3)f(x)=+; (4)f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 解:(1)因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称, 又f(-x)=(-x)4+2(-x)2=x4+2x2=f(x),所以函数f(x)为偶函数. (2)因为函数f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,又f(-x)==-f(x),所以函数f(x)为奇函数. (3)函数f(x)=+的定义域满足即x=1, 因此函数f(x)的定义域为{1},不关于原点对称,所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (4)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.当b=0时,f(-x)=a(-x)2+c=ax2+c=f(x),此时函数f(x)是偶函数;当b≠0时,函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 函数奇偶性的图象特征 [例2] 定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示. (1)画出f(x)的图象; (2)解不等式xf(x)>0. 解:(1)先描出(1,1),(2,0)关于原点的对称点(-1,-1),(-2,0),连线可得f(x)的图象如图. (2)由xf(x)>0,得或 所以xf(x)>0的解集是(-2,0)∪(0,2). 由于奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.因此根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇、偶函数图象的问题. 针对训练:如图,给出了函数y=f(x)的局部图象,根据下列条件画出函数在y轴右侧的图象,并比较f(1)与f(3)的大小. (1)f(x)是偶函数; (2)f(x)是奇函数. 解:(1)因为函数f(x)是偶函数,所以其图象关于y轴对称,补全图象如图. 由图象可知f(1)<f(3). (2)因为函数f(x)是奇函数, 所以其图象关于原点对称,补全图象如图. 由图象可知f(1)