第一章 预备知识 章末总结-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

章末总结 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 判断对错.(正确的画“√”,错误的画“×”) 1.一个集合中可以找到两个相同的元素.(　×　) 2.集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素.(　√　) 3.当A⊆B时,一定有A∩B=A,A∪B=B.(　√　) 4.与{}的关系是∈{}或⊆{}.(　√　) 5.对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.(　√　) 6.A∩B=A∩C是B=C的充分不必要条件.(　×　) 7.设a,b,c是任意实数,如果a>b,则ac>bc.(　×　) 8.同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(　×　) 9.ax2+ax+1>0是一元二次不等式.(　×　) 10.命题“∀x≥0,x2-1≥-1”的否定是“∃x<0,x2-1<-1”.(　×　) 题型一　集合的基本概念 [例1] (1)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是(　　) A.1 B.3 C.5 D.9 (2)(2020·全国Ⅲ卷)已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 解析:(1)当x=0,y=0时,x-y=0;当x=0,y=1时,x-y=-1;当x=0,y=2时,x-y=-2;当x=1,y=0时,x-y=1;当x=1,y=1时,x-y=0;当x=1,y=2时,x-y=-1;当x=2,y=0时,x-y=2;当x=2,y=1时,x-y=1;当x=2,y=2时,x-y=0.根据集合中元素的互异性知,B中元素有0,-1,-2,1,2,共5个.故选C. (2)由题意得,A∩B={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)},所以A∩B中元素的个数为4.故选C. 与集合中的元素有关问题的求解策略 (1)确定集合中的元素是什么,即集合是数集还是点集. (2)看这些元素满足什么限制条件. (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合是否满足元素的互异性. 题型二　集合的关系与运算 [例2] (1)已知全集U={1,2,3,4},A={1,2},B={2,3},则∁U(A∪B)=(　　) A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4} (2)集合A={x|x<-1或x≥3},B={x|ax+1≤0},若B⊆A,则实数a的取值范围是(　　) A.[-,1) B.[-,1] C.(-∞,-1)∪[0,+∞) D.[-,0)∪(0,1) 解析:(1)因为A∪B={1,2,3}, 所以∁U(A∪B)={4}.故选D. (2)因为B⊆A, 所以①当B=时, 即ax+1≤0无解,此时a=0,满足题意. ②当B≠时,即ax+1≤0有解, 若a>0,则x≤-, 要使B⊆A,则需要 解得0<a<1. 若a<0,则x≥-, 要使B⊆A,则需要 解得-≤a<0. 综上,实数a的取值范围是[-,1).故选A. 集合的基本运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算,不等式解集之间的包含关系通常用数轴法,而用列举法表示的集合运算常用Venn图法,运算时特别注意对的讨论,不要遗漏. 题型三　全称量词命题与存在量词命题 [例3] 已知命题p:∀1≤x≤2,x2-a≥0,命题q:∃x∈R,x2+2ax+2a+a2=0. (1)若命题p的否定为真命题,求实数a的取值范围; (2)若命题p为真命题,命题q的否定也为真命题,求实数a的取值范围. 解:(1)根据题意,当1≤x≤2时,1≤x2≤4. p的否定:∃1≤x≤2,x2-a<0,为真命题, 所以a>1, 所以实数a的取值范围是{a|a>1}. (2)由(1)知命题p为真命题时a≤1. 命题q为真命题时,Δ=4a2-4(2a+a2)≥0, 解得a≤0, 所以当命题q的否定为真命题时,a>0. 解得0<a≤1, 即实数a的取值范围为{a|0<a≤1}. 已知含量词命题的真假求参数的取值范围,实质上是对命题意义的考查.解决此类问题,一定要辨清参数,恰当选取主元,合理确定解题思路.解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识,利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围,解题过程中要注意变量取值范围的限制. 题型四　充分、必要条件 [例4] 设全集U=R,集合A={x|1≤x≤5},集合B={x|2-a≤x≤1+2a},其中a∈R. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求a的取值范围; (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,求a的取值范围. 解: (1)因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,故A⊆B,⇒⇒a≥2,即a的取值范围为[2,+∞). (2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件,故B⊆A, 若B=,