第一章 1.1 集合的概念与表示-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

§1　集　合 1.1　集合的概念与表示 学习目标 1.通过集合概念、集合的表示方法的学习,提升数学抽象素养. 2.借助集合元素互异性的应用,提升逻辑推理素养. 　　一位渔民非常喜欢数学,但他怎么也想不明白集合的意义.于是,他请教数学家:“尊敬的先生,请你告诉我,集合是什么?”,而集合是不加定义的概念,数学家很难回答那位渔民. 有一天,他来到渔民的船上,看到渔民撒下渔网,轻轻一拉,许多鱼在网中跳动.数学家激动地喊:“找到了,找到了,这就是一个集合”. 1.集合与元素的相关概念 定义 表示 集合 一般地,我们把指定的某些对象的全体称为集合 通常用大写英文字母A,B,C,…表示 元素 集合中的每个对象叫作这个集合的元素 通常用小写英文字母a,b,c,…表示 2.元素与集合的关系 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与集合的关系 属于 如果元素a在集合A中,就说元素a属于集合A a∈A a属 于A 不属于 如果元素a不在集合A中,就说元素a不属于集合A a∉A a不属 于A 3.常用数集及其表示符号 定义 自然 数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 正实 数集 记法 N N*或N+ Z Q R R+ 4.集合的表示方法 (1)列举法. 把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{　　}”内表示集合的方法,一般可将集合表示为{a,b,c,…}. (2)描述法. 通过描述元素满足的条件表示集合的方法,一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件},即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围,再画一条竖线“|”,在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征. 思考1:哪些集合适合用列举法表示? 提示:(1)含有有限个元素且个数较少的集合. (2)元素较多,元素的排列又呈现一定的规律,在不至于发生误解的情况下,也可列出几个元素作代表,其他元素用省略号表示,如N可表示为{0,1,2,…,n,…}. (3)当集合所含元素不易表述时,用列举法表示方便.如集合{x2,x2+y2,x3}. 思考2:什么类型的集合适合用描述法表示? 提示:描述法可以看清集合的元素特征,一般含较多元素或无数多个元素(无限集)且排列无明显规律的集合,或者元素不能一一列举的集合,宜用描述法. 5.空集与集合的分类 (1)空集. 定义:不含任何元素的集合叫作空集. 用符号表示为. 思考3:{0}与相同吗? 提示:不同.{0}表示一个集合,且集合中有且仅有一个元素0;而不含有任何元素. (2) 6.区间的表示 设a,b是两个实数,且a<b. 集合表示 符号表示 数轴表示 说明 {x|a≤x≤b} [a,b] 闭区间 {x|a<x<b} (a,b) 开区间 {x|a≤x<b} [a,b) 半开半 闭区间 {x|a<x≤b} (a,b] 半开半 闭区间 {x|x≥a} [a,+∞) 半开半闭区间 {x|x>a} (a,+∞) 开区间 {x|x≤b} (-∞,b] 半开半闭区间 {x|x<b} (-∞,b) 开区间 R (-∞,+∞) 开区间 思考4:(1)区间是数集的另一种表示方法,那么任何数集都能用区间表示吗? (2)“∞”是数吗?以“-∞”或“+∞”作为区间一端时这一端可以是中括号吗? 提示:(1)不是任何数集都能用区间表示,如集合{0}就不能用区间表示. (2)“∞”读作“无穷大”,是一个符号,不是数.以“-∞”或“+∞”作为区间一端时,这一端必须是小括号. 集合中元素的三个特性 特性 含义 示例 确定性 作为一个集合的元素,必须是确定的,不能确定的对象就不能构成集合 集合A={1,2,3},则1∈A,4∉A 互异性 对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的 集合{x,x2-x}中的x应满足x≠x2-x,即x≠0且x≠2 无序性 构成集合的元素间无先后顺序之分 集合{1,0}和{0,1}是同一个集合 集合的概念 [例1] 下列每组对象能否构成一个集合: (1)不超过20的非负数; (2)方程x2-9=0在实数范围内的解; (3)某校2021年在校的所有矮个子同学; (4)的近似值的全体. 解:(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”,所以能构成集合. (2)能构成集合. (3)“矮个子”无明确的标准,对于某个人算不算矮个子无法客观地判断,因此不能构成一个集合. (4)“的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值,所以不能构成集合. 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准,使给定的对象是“确定无疑”的还是