第四章 2.1 对数的运算性质-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

§2　对数的运算 2.1　对数的运算性质 学习目标 1.理解对数的运算性质,通过对数的运算性质的推导,提升逻辑推理的核心素养. 2.会运用对数的运算性质进行一些简单的化简与证明,提升数学运算的核心素养. 问题:(1)计算log24,log28及log232的值,你能分析一下三者存在怎样的运算关系吗? (2)计算lg 10,lg 100,lg 1 000及lg 104的值,你能发现什么规律? 提示:(1)因为log24=2,log28=3,log232=5, 所以log24+log28=log2(4×8)=log232; log232-log28=log2=log24; log232-log24=log2=log28. (2)lg 10=1,lg 100=lg 102=2,lg 1 000=lg 103=3,lg 104=4,可见lg 10n=nlg 10=n. 对数的运算性质 若a>0,且a≠1,M>0,N>0,b∈R,则 (1)loga(M·N)=logaM+logaN. (2)loga=logaM-logaN. (3)logaMb=blogaM. 思考:若a>0,且a≠1,则loga(MN)=logaM+logaN一定成立吗? 提示:不一定,只有M>0,N>0时才成立. 对数的运算性质的应用 [例1] 化简下列各式: (1)4lg 2+3lg 5-lg ; (2)log2(1++)+log2(1+-); (3)lg 5·lg 20+(lg 2)2. 解:(1)原式=lg =lg (24×54) =lg (2×5)4 =4. (2)原式=log2[(1++)(1+-)] =log2[(1+)2-()2] =. (3)因为lg 5=lg =1-lg 2, lg 20=1+lg 2. 所以lg 5·lg 20=(1-lg 2)(1+lg 2)=1-(lg 2)2. 所以原式=1-(lg 2)2+(lg 2)2=1. 利用对数的运算性质化简求值 (1)“收”:将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数,即公式正用. (2)“拆”:将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差),即公式的逆用. (3)“凑”:将同底数的对数凑成特殊值计算,如利用lg 2+lg 5=1进行计算或化简. 针对训练:计算:(1)lo27+lg 4+lg 25; (2)lg 5(lg 8+lg 1 000)+(lg )2+lg +lg 0.06. 解:(1)原式=lo()6+2lg 2+2lg 5 =6+2(lg 2+lg 5)=8. (2)原式=lg 5(3lg 2+3)+3(lg 2)2-lg 6+ lg 6-2 =3lg 5·lg 2+3lg 5+3(lg 2)2-2 =3lg 2(lg 5+lg 2)+3lg 5-2 =3lg 2+3lg 5-2 =3(lg 2+lg 5)-2 =1. 指数式与对数运算性质的应用 [例2] 已知2a=5b=10,求+的值. 解:由2a=10可知alg 2=1,则=lg 2, 同理=lg 5,因此+=lg 2+lg 5=lg 10=1. 变式探究1:若本例改为:已知2a=5b=c,且+=1,求c的值. 解:由2a=5b=c>0知=logc2,=logc5. 又+=1, 故logc10=1,则c=10. 变式探究2:若本例改为:已知2a=5b=c,且-=1,求c的值. 解:由2a=5b=c>0知=logc2,=logc5, 则-=logc =1,故c=. 利用对数式与指数式互化求值的方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的相互转化. (2)对于多个指数式的相等问题,可令等式等于k(k>0),然后将指数式两边取对数后结合问题的特征求解. 针对训练:已知正数a,b,c满足2a=25b=10c,求证:-=. 证明:设2a=25b=10c=t(t>0),则 =logt2,=logt25,=logt10. 故-=logt5. 又=·logt25=logt5,故-=. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 对数方程的解法 (1)对数方程:在对数符号后面含有未知数的方程叫作对数方程. (2)主要类型及解法. ①同底法:由logaf(x)=logag(x)转化得 ②指数法:由logf(x)g(x)=k转化得 ③换元法:由f(logax)=0转化得logax=b,再用指数法. 典例探究:解下列对数方程: (1)lg(x+2)-lg(2x2+x-6)+1=0; (2)log2(x2-6x+9)=log2(2x-6); (3)xlg x+2=108; (4)log(2x-1)(5x2+3x-17)=2. 解:(1)原式可化为lg(x+2)+1=lg(2