第二章 4.2 简单幂函数的图象和性质-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，北师大版）

4.2　简单幂函数的图象和性质 1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式,提升数学抽象的核心素养. 2.以五个常见的幂函数为载体,归纳幂函数的图象与性质,提升学生的直观抽象、逻辑推理的核心素养. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 给出下列五个问题: ①如果某人购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么此人需要支付p=w元,这里p是w的函数. ②如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数. ③如果正方体的棱长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 ⑤如果某人t s内骑车行进了1 m,那么他骑车的平均速度v=t-1 m/s,这里v是t的函数. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 探究:上述5个问题中,若自变量都用x表示,因变量用y表示,则对应的函数关系式分别是什么?这些函数解析式有什么特征? 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 1.幂函数的概念 一般地,形如 (α为常数)的函数,即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数. y=xα 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 {x|x≠0} 2.幂函数的图象与性质 [0,+∞) 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 值域 R . R . . 奇偶性 函数 函数 函数 函数 .函数 单调性 在(-∞, +∞)上单调 . 在(-∞, 0]上单调 ,在[0,+∞)上单调 . 在(-∞, +∞)上单调 . 在(-∞, 0)上单调 ,在(0,+∞)上单调 . 在[0, +∞)上单调 . 定点 . [0,+∞) {y|y≠0} [0,+∞) 奇 偶 奇 奇 非奇非偶 递增 递减 递增 递增 递减 递减 递增 (1,1) 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 一般幂函数的图象特征 (1)所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都过点(1,1). (2)当α>0时,幂函数的图象过原点,并且在区间[0,+∞)上单调递增.特别地,当α>1时,幂函数的图象下凸;当0<α<1时,幂函数的图象上凸. (3)当α<0时,幂函数在区间(0,+∞)上单调递减. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y=x对称. (5)在第一象限,作直线x=a(a>1),它同各幂函数图象相交,按交点从下到上的顺序,幂指数按从小到大的顺序 排列. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 2 师生互动 合作探究 幂函数的概念 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 判断一个函数是不是幂函数的依据是该函数是不是y=xα(α为常数)的形式,即:(1)系数为1.(2)指数为常数.(3)后面不加任何项. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 针对训练:下列函数:①y=x3;②y=x2+2x;③y=4x2; ④y=x5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x. 其中幂函数的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 √ 解析:②为多项式,③中系数不是1,④中解析式为多项式,⑤中底数不是自变量本身,所以只有①⑥是幂函数.故选B. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 幂函数的图象 A.-2或0 B.-1 C.0 D.-2 √ 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 解析:由幂函数在第一象限的单调性可得m2+2m-3<0,解得-3<m<1,再由m∈Z可得m=-2或-1或0.又从图象可知该函数是奇函数,若m=-2,y=x-3,符合题意;若m=-1,y=x-4,不符合题意,若m=0,y=x-3,符合题意.综上,m=-2或0.故选A. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小. ①在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低); ②在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 A.④⑦ B.④⑧ C.③⑧ D.①⑤ √ 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 幂函数性质的应用 角度1　利用幂函数的性质比较大小 [例3] 比较下列各组数的大小. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 比较幂值大小的方法 (1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时,则可构造幂函数,利用幂函数的单