2.4.2 简单幂函数的图象和性质 课件-2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

简单幂函数的图象和性质 第2课时 导入新课 问题1　大家在初中时学习过哪些函数？所学过的最简单的正比例函数是什么？最简单的二次函数是什么？最简单的反比例函数是什么？ y＝x，y＝x2，y＝ （我们还可以写成y＝x－1）． 师生活动：幻灯片演示问题，学生探究，自由发言． 2 新知探究 追问：从上述三种函数出发，可以把它们统一写成y＝xk的形式．那么对于xk，我们把它称作什 么？它有什么特点呢？ 幂中指数为常数，底数为自变量x． 师生活动：教师引导学生讨论，小组展示讨论结果．教师引导学生归纳总结得出幂函数的概念． 设计意图：从初中所学知识入手，引入幂函数的概念． 3 新知探究 幂函数 一般地，形如y＝xα（α为常数）函数，即底数是自变量，指数是常数的函数称为幂函数． 4 新知探究 问题2　幂函数解析式有哪些规律特征？ ①底数是自变量； ②指数是常量； ③xα的系数是1． 师生活动：教师播放PPT，学生思考回答． 5 新知探究 追问1：判断y＝函数是否为幂函数？ y＝在学习中可以分别写成y＝． 6 新知探究 追问2：下列函数中哪些函数是幂函数？ y＝x；y＝2x；y＝2x；y＝　；y＝　 ；y＝3x2；y＝；y＝x2＋． y＝x；y＝　 ；y＝． 师生活动：学生思考观察、对问题作出判断． 设计意图：通过概念的辨析和应用，让学生深刻理解幂函数的概念． 7 新知探究 问题3　将y＝x；y＝ ；y＝x2；y＝；y＝x3这五个函数的图象画在同一平面直角坐标系中，并填写下表． 函数 y＝x y＝　 y＝x2 y＝ y＝x3 定义域           值域           单调性           奇偶性           y＝x3 y＝x2 y＝x y＝ 1 2 -1 -1 1 2 x y O -2 -2 师生活动：学生自主探究，自由发言，教师引导学生从哪些方面入手探究函数的性质．最后学生小结，教师归纳整理． 设计意图：从函数解析式入手，由定义域、值域判断出函数在坐标系中的位置；由单调性判断图象的变化趋势；由奇偶性判断函数图象是否对称，从而得出函数具有的图象特征；这是我们研究幂函数的一般方法，这种方法不仅适用于幂函数，对任意函数都是可行的． 8 新知探究 问题4　一般地，幂函数y＝xα （α为常数）的图象有哪些特点？幂函数具有什么性质？ ⑴所有的幂函数在（0，＋∞）都有定义，并且图象都过点（1，1），（原因1x＝1）． ⑵α＞0时，幂函数的图象都通过原点，且在[0，＋∞）上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）． ⑶α＜0时，幂函数的图象在区间[0，＋∞）上是减函数． 在第一家限内，当x向原点靠近时，图象在y轴的右方无限逼近x轴正半轴，当x慢慢地变大时，图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴． 9 新知探究 问题5　在图中，只画出了函数在y轴某一侧的图象，请你画出函数在y轴另一侧的图象，并说出画法的依据． 1 -1 -1 1 x y O 1 -1 -1 1 x y O 1 -1 -1 1 x y O 1 -1 -1 1 x y O 1 -1 -1 1 x y O y＝-x4 y＝x y＝x3 y＝x2+1 师生活动：教师引导学生作图时考虑到函数的奇偶性与函数图象对称性之间的关系，使得作图更加简便，学生完成作图展示交流． 设计意图：通过幂函数的性质探究来画出图象，让学生体会数形结合的思想． 10 初步应用 例1　判断下列函数是否为幂函数． （1）y＝axm；　　　　　（2）y＝x＋x2；　　　（3）y＝xn； （4）y＝（x－2）5；　　 （5）y＝2x2；　　　　（6）y＝ 　． 幂函数的解析式为y＝xα，x为自变量，故只有（3）和（6）为幂函数． 题型一：判断是否为幂函数 师生活动：学生自主探究，自由发言，教师引导学生从哪些方面入手解答．最后学生小结，教师归纳整理得出答案． 11 初步应用 例2　如图所示，曲线是幂函数y＝xa在第一象限内的图象，已知α分别取－1，1， ，2四个值，则相应图象依次为         ． x y O C1 C2 C3 C4 C4，C2，C3，C1 当α＞0时，幂函数y＝xα在（0，＋∞）上递增，且随α增大，图象在x=1右侧从上到下依次降低； 当α＜0时，幂函数y＝xα在（0，＋∞）上递减； 故图象依次为C4，C2，C3，C1． 题型二：幂函数图象问题 师生活动：学生自主探究，自由发言，教师引导学生从哪些方面入手解答．最后学生小结，教师归纳整理得出答案． 12 初步应用 例3　幂函数f（x）＝（m2－m－1）在（0，＋∞）时是减函数，则实数m的值为（　　） B．−1 D．−2或1 A．2或−1 C．2 由于幂函数f（x）＝（m2－m－1）在（0，＋∞）上是减函数， 故有，解得