6.2.2 向量的减法运算-2023-2024学年高一数学《第六章平面向量及其应用》同步讲与练（人教A版2019必修第二册）

6.2.2　向量的减法运算 知识点归纳 一、向量的减法运算 1．相反向量的定义：与向量a长度 ，方向 的向量，叫做a的相反向量，记作－a. 2．相反向量的性质 ①对于相反向量有：a＋(－a)＝0. ②若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. ③零向量的相反向量仍是零向量. 3. 向量减法的定义 向量a加上b的 ，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b).求两个向量 的运算叫做向量的减法. 二、向量减法的几何意义 作法一：已知非零向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，如图所示.即a－b可以表示为从向量 的终点指向向量 的终点的向量. 作法二：(相反向量法)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝－b，连接AB.由向量减法的定义知a－b＝a＋(－b)＝＋＝.在四边形OCAB中，OB綉CA，所以OCAB是平行四边形，所以＝＝a－b. 提示：作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为“共起点，连终点，指向被减”. 题型演练 题型一　向量的减法 例1向量可以写成： ①＋；②－；③－；④－. 其中正确的是________(填序号). 小结　1.作两向量的差的步骤 2.求两个向量的差可转化为向量的加法来进行. 变式1 (1)在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则－等于(　　) A. B. C. D. (2)如图，已知向量a，b，c，求作a－b－c. 题型二　向量的加减法运算 例2化简下列式子： (1)－－－； (2)(－)－(－). 小结　1.向量加减法运算的基本方法 (1)利用相反向量统一成加法(相当于向量求和)； (2)运用减法公式－＝(正用或逆用)； (3)运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以其中一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题. 2.向量加减法运算结果仍然是向量. 变式2化简：(1)(－)－(－)； (2)(＋＋)－(－－). 题型三　向量加减运算几何意义的应用 例3 设点M是线段BC的中点，点A在线段BC外，||＝4，|＋|＝|－|，则||＝(　　) A.8 B.4 C.2 D.1 小结　1.由|a|，|b|及|a－b|出发，找出三者之间的数量关系，从而进一步判断向量三角形的形状，再求|a＋b|的值. 2.解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则. 3.平行四边形中有关向量的以下结论，在解题中可以直接使用：①对角线的平方和等于四边的平方和，即|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)；②若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形 . 变式3已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值. 总结 1.重要思想与方法 在应用三角形法则进行向量的减法运算时，应用数形结合的思想方法. 2.易错易混点提醒 在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”.解题时要结合图形，准确判断，防止混淆. 分层作业 A基础能力提升 一、单选题 1．（2023下·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）在平面四边形中，下列表达式化简结果与相等的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高一专题练习）（　　） A． B． C． D． 3．（2023下·甘肃天水·高一统考期中）已知是所在平面内一点，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023下·海南·高一校考期中）如图，在等腰梯形中，，，点为线段的中点，点是线段上的一点，且，则（    ）    A． B． C． D． 5．（2023下·山东青岛·高一青岛二中校考期末）中，点为上的点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023下·云南西双版纳·高一校考期中）在四边形中，若，且，则（    ） A．在四边形是矩形 B．在四边形是菱形 C．在四边形是正方形 D．在四边形是平行四边形 二、多选题 7．（2023下·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考阶段练习）化简下列各式，结果为的是（    ）． A． B． C． D． 8．（2023下·内蒙古包头·高一统考期末）已知，，，四点不共线，下列等式能判断为平行四边形的是（    ） A． B．（为平面内任意一点） C． D．（为平面内任意一点） 三、填空题 9．（2023下·高一单元测试）任给两个向量和，则下列式子恒成立的有 ． ①            ② ③            ④ 10．（2023下·四川成都·高一统考期中）向量，其中是单位向量且，则 . 11．（20