2024年九年级中考数学高频考点突破——二次函数与相似三角形

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与相似三角形 1．如图，抛物线与轴正半轴、轴分别交于、两点，点为抛物线的顶点，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)求的度数； (3)如图，点从点出发，沿着的方向以个单位秒的速度向匀速运动，同时点从点出发，沿着的方向以个单位秒的速度向匀速运动，设运动时间为秒，轴交于点，轴交抛物线于点，连接、． 当时，求点的坐标； 在、运动的过程中，存在使得与相似，请直接写出的值． 2．如图，抛物线经过点，，与y轴正半轴交于点C，且，抛物线的顶点为D，直线经过B，C两点，与对称轴交于点E． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)点M是直线上方抛物线上的动点，连接，，得到，求出面积的最大值及此时点M的坐标； (3)直线交线段于点H，若以点O，B，H为顶点的三角形与相似，求k的值． 3．如图①，已知二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C． (1)求的面积． (2)点M在边上以每秒1个单位的速度从点O向点B运动，点N在边上以每秒个单位得速度从点B向点C运动，两个点同时开始运动，同时停止．设运动的时间为t秒，试求当t为何值时，以B、M、N为顶点的三角形与相似？ (3)如图②，点P为抛物线上的动点，点Q为对称轴上的动点，是否存在点P、Q，使得以P、Q、C、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求点D的坐标以及的面积的最大值． (3)点P是抛物线上一个动点，过P作轴于M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； 5．如图，抛物线经过点，与y轴正半轴交于点C，且，抛物线的顶点为D，直线经过B，C两点，与对称轴交于点E． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)点M是直线上方抛物线上的动点，连接，得到，求出面积的最大值及此时点M的坐标； (3)直线交线段于点H，若以点O，B，H为顶点的三角形与相似，求k的值； (4)点N在对称轴上，满足，求出点N的坐标． 6．如图．已知抛物线经过三点，点P为直线上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求点P的坐标； (3)连接，交直线于点E，交y轴于点F； ①是否存在点P使与相似，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； ②若点P的坐标为，点H在抛物线上，过H作轴，交直线于点K．点Q是平面内一点，当以点E，H，K，Q为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点Q的坐标． 7．如图1，直线与x轴、y轴分别交于、两点，经过、两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为. (1)求、两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式； (2)P在线段上的一个动点（与、不重合），过点P作直线轴，交抛物线于点E，交x轴于点F，设点P的横坐标为m. 若点P的横坐标为m，请用m表示线段的长度并写出m的取值范围； ②有人认为：当直线a与抛物线的对称轴重合时，线段的值最大，你同意他的观点吗？请说明理由； ③过点P作直线轴（图2），交于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得与相似？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由. 8．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是坐标原点，已知点的坐标是，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点在轴上方的抛物线上，且，求点的坐标； (3)点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴负半轴交于点，连接，且． (1)求抛物线解析式． (2)点是抛物线上的一点． ①当点在第一象限时，过点作轴交于点，过点作轴交于点，连接，当和相似时，求点的坐标． ②当时，求点的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正、负半轴分别交于点B、A，与y轴交于点C，已知，，． (1)求该抛物线的表达式； (2)设该抛物线的对称轴分别与x轴、交于点E、F，求的长； (3)在（2）的条件下，联结，如果点P在该抛物线的对称轴上，当和相似时，求点P的坐标 11．如图，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)将线段绕点逆时针旋转得到线段，若恰好在抛物线上，求点的坐标； (3)过点P作轴分别交直线，抛物线于点Q，C，连接．若以点B、Q、C为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标． 12．如图，直线分别交轴、轴于、两点，绕点按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过、、三点． (1)填空：，　 　、　 　，　 　、　 　，　 　； (2)求抛物线的函数关系式； (3)为抛物线的顶点，在线段