2024届安徽省皖南八校高三第二次大联考数学试卷

2024届“皖南八校”高三第二次大联考 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 形如我们称为“二阶行列式”，规定运算，若在复平面上的一个点A对应复数为，其中复数满足，则点A在复平面内对应坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（ ） A 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 4. 已知向量，，且，若，则在方向上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，，则正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列是递增数列，且，数列的前项和为，若，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 已知是定义在上的偶函数，函数满足，且，在单调递减，则（ ） A. 在单调递减 B. 在单调递减 C. 在单调递减 D. 在单调递减 8. 已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据2、3、3、4、5、7、7、8、9、11的第80百分位数为8.5 B. 在回归分析中，可用决定系数判断模型拟合效果，越小，模型的拟合效果越好 C. 若变量服从，，则 D. 将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 10. 已知函数的部分图象如图所示，且，若为奇函数，则可能取值为（ ） A. B. C. D. 11 若函数，既有极大值点又有极小值点，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知一圆锥，其母线长为且与底面所成的角为，下列空间几何体可以被整体放入该圆锥的是（ ）（参考数值：，） A. 一个半径为的球 B. 一个半径为与一个半径为的球 C. 一个边长为且可以自由旋转的正四面体 D. 一个底面在圆锥底面上，体积为的圆柱 三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分. 13. 二项式的展开式中，所有项系数和为，则的系数为______（用数字作答）. 14. 随机变量有3个不同取值，且其分布列如下： 则的最小值为______. 15. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与双曲线交于A，B两点（B在第一象限），若线段的中垂线经过点，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为______. 16. 已知函数，有唯一零点，则的值为______. 四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知正项数列的前项和为，且满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前和. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求证：； （2）如图：点在线段上，且，求的值. 19. 如图，在四棱锥中，棱平面，底面四边形是矩形，，点为棱的中点，点在棱上，. （1）求证：； （2）已知平面与平面的交线与直线所成角的正切值为，求二面角的余弦值. 20. 人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为（）分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得分.若该答题机器人答对每道题的概率均为，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为，当时，答题结束，机器人挑战成功，当时，答题也结束，机器人挑战失败. （1）当时，求机器人第一轮答题后累计得分分布列与数学期望； （2）当时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率. 21. 如图，已知椭圆的左右顶点分别为A、B，P是椭圆上异于A、B的动点，满足，当为上顶点