专题01 空间向量与立体几何-2023-2024学年高二数学期末复习重难培优与单元检测（人教A版2019）

专题01 空间向量与立体几何 目录 【知识梳理】 2 【重点保分】 10 【重点保分一】空间向量及运算 10 【重点保分二】空间向量基本定理 11 【重点保分三】空间向量及其运算的坐标表示 12 【重点保分四】空间中直线、平面的平行 14 【重点保分五】空间中直线、平面的垂直 15 【难点增分】 17 【难点增分一】线面角的向量求法 17 【难点增分二】面面角的向量求法 19 【难点增分三】距离的向量求法 21 【培优满分】 23 【培优满分一】空间角的范围 23 【培优满分二】空间角的折叠 25 【培优满分三】空间角与动点 27 【技巧总结】 30 【单元检测】 32 知识梳理 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量. (2)空间向量的长度：空间向量的大小叫做向量的长度或模. (3)表示法 ①字母表示法：用字母a，b，c，…表示； ②几何表示法：空间向量用有向线段表示.若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||. (4)特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线(平行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a. 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 2.空间向量的加减运算 加法 运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行 四边形 法则 语言 叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形 叙述 减法 运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 加法 运算 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 3.空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何 意义 λ＞0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ＜0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律　 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 4.空间向量共线的充要条件 (1)空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)直线的方向向量 ①如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，可知＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量. ②直线可以由其上一点和它的方向向量表示. 5.空间向量共面的充要条件 (1)向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. (2)共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb 6.空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 7.空间向量的数量积及性质 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__〈a，b〉. (2)性质：①零向量与任意向量的数量积为0； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2. (3)运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R； ②a·b＝b·a； ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 8.向量a的投影 (1)在空间，向量a向向量b投影： 如图(1)，先将它们平移到同一平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量. (2)向量a向直线l投影如图(2). (3)向量a向平面β投影：如图(3)，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量. 9.空间向量基本定理 (1)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面