浙江省金华市曙光学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

曙光学校2023-2024学年第一学期第二次阶段考试 高二年级数学试题卷 本卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题5分共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知等差数列的前5项和为25，且，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 2．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．在三棱锥中，若，则（    ） A． B． C． D． 4．《九章算术》中关于“刍童”（上、下底面均为矩形的棱台）体积计算的注释：将上底面的长乘以二与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘以二与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．现有“刍童”，其上、下底面均为正方形，若，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为，则该“刍童”的体积为（    ） A．224 B．448 C． D．147 5．已知是圆内异于圆心的一定点，动点满足：在圆上存在唯一点，使得，则的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 6．若直线：被圆截得的弦长为4，则的最小值为 A．2 B．4 C． D． 7．已知双曲线的左､右焦点分别为､，过的直线l与C的左､右支分别相交于M､N两点，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 8．数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共4小题，每小题5分共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9．已知等差数列的前项和为，公差为，，，则（    ） A． B． C．是数列中的项 D．取得最大值时， 10．已知直线，其中不全为0，则下列说法正确的是（    ） A．当时，过坐标原点 B．当时，的倾斜角为锐角 C．当时，和轴平行 D．若直线过点，直线的方程可化为 11．如图，在长方体中，，，若为的中点，则以下说法中正确的是（    ）    A．线段的长度为 B．异面直线 和夹角的余弦值为 C．点到直线的距离为 D．三棱锥的体积为 12．1675年法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现了一种特殊的曲线 -- 卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹.已知在平面直角坐标系xOy中，M（ - 3，0），N（3，0），动点P满足|PM|·|PN| = 12，其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则下列结论正确的是（      ） A．曲线C关于y轴对称 B．曲线C与x轴交点为 C．△PMN面积的最大值为6 D．|OP|的取值范围是 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．两圆与的公切线有 条． 14．数列中，若，，则 ． 15．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点均在x轴上，C的面积为，且离心率为，则C的标准方程为 ． 16．双曲线：其左、右焦点分别为、，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，设双曲线右顶点为，若，则双曲线的离心率的取值范围为 ． 四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．已知空间向量，，. (1)若，求； (2)若，求的值. 18．已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且. (1)求直线和直线的交点坐标； (2)已知不过原点的直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程. 19．已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若圆与圆相交于A、两点，求. 20．已知数列的前n项和为，且，. (1)证明：为等比数列，并求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 21．已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求证数列的前n项和． 22．已知动点到两定点，的距离和为6，记动点的轨迹为曲线C. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于，两点，在轴是否存在点（若记直线、的斜率分别为，）使得为定值，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由. 第 2 页 共 4 页 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案： 1．D 【分析】先由等差数列的前5项和为25，得，再结合，可求出公差，从而可求出 【详解】因为，所以，则公差， 故．