模块六导数应用及函数综合问题 第一课时 切线问题的思维训练方法讲义-2024届高三数学二轮复习

模块六 高考数学思维训练教程 —导数应用及函数综合问题 第一课时 切线问题的思维训练方法 解决切线问题的常规思维方法： ①一般需要假设切点为,同时需要假设切线方程，一般是3个未知数，找3个等式问题。 ②一般要利用隐含等式：,找到切线的斜率。 例1（2021年全国甲卷）曲线在点（-1，-3）处的切线方程是_________ 思维学习方法： ①判断点（-1，-3）是不是切点？ 第一，点（-1，-3）在曲线上，可以是切点。 第二，过点（-1，-3）不可能再作其它切线，点（-1，-3）一定是切点。 ②求切线斜率 第一，曲线可以化简为： 第二，求切线的斜率k 切线方程为：y+3=5(x+1),即：y=5x+2 ③本题需要学会 第一，一定要确定给定点（-1，-3）是不是切点。 方法是：如果点（-1，-3）不在曲线上，一定不是切点，一般需要设切点为. 如果点（-1，-3）在曲线上，点（-1，-3）可以是切点，也可以不是切点，不是切点时需要设切点为. 第二，求切线方程时，一定要利用等式： 例2（2018年全国1卷）设函数f(x),若f(x)为奇函数，则曲线在点（0，0）处的切线方程为（ ） A．y＝-2x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x 思维学习方法： ①求a 条件一：f(x)为奇函数 有等式：f(-1)=-f(1),求得：a=1, f(x)= ②判断点（0，0）是不是切点？ 点（0，0）在曲线上，是切点。 ③求切线斜率k 切线方程为：y=x 答案：D 例3（2021年新高考全国1卷）若过点（a,b）可以作曲线y=的两条切线，则（ ） 思维学习方法： ①设切点为,有等式：，切线方程为： ②切线过点（a,b）, 有等式：，即： ③问题的本质：找到a,b 的不等式 条件一：若过点（a,b）可以作曲线y=的两条切线 思考一：如何找到a,b 的不等式？ 设,这是关于t的函数，应该有两个零点。 利用“有两个零点”，根据函数的单调性，找到a,b 的不等式。 第一，（方法一）求函数的单调区间 t=a为极值点。 当t<a时，,函数单调增；当t>a时，,函数单调减。 因此，函数最多有2个零点。 第二，确定函数的零点个数 当，即，函数不可能有两个零点，得到不等式（即最大值>0） 第三，当时 在上，,函数单调增，当t时， ,-b>0时，在上，没有零点，因此得到：b>0 答案：D ④（方法二：排除法） 第一，为什么可以用排除法？ 有很多个满足条件的a,b 第二，选择满足其中两个，不满足其中另外两个的a,b 选择a=1,b=1,画图可知，可以画出两条切线。排除选项A,B 第三，选择满足（C,D）中一个，不满足另一个的a,b a=5,b=1（或a=1,b=5），画图可知，可以画出两条切线。排除选项C 答案：D ⑤本题需要学会 第一，本题问题的本质显然是“找到a,b的不等式”。 第二，要学会理解是“一个数”，t是“变量”，因此是关于t的函数，有两个t使得，实际是函数有两个零点，找到有两个零点满足的条件，就是“a,b的不等式”。 第三，“与零点个数”有关的问题，通常利用函数的单调性，以及函数的最大值、最小值确定。 第四，这样的问题也可以利用排除法解决。 例4 若函数f(x)=1-a与g(x)=1-lnx的图像存在公切线，则实数a的最小值是（ ） A． B． C． D．1 思维学习方法： ①问题：求实数a的最小值 方法：引进一个变量，找到a与变量的函数，求函数的最小值。 ②分别找到两个函数的切线 第一，设（）是函数f(x)=1-a的切点，, 切线方程为： 第二，设（）是函数g(x)=1-lnx的切点，, 切线方程为： ③找到“公切线”存在的条件 思考一：本题含有什么“变量”？引进“哪一个变量”？如何消去“另一个变量”？ 由于a是“变量”，也是“变量”，可以引进变量（或），找到a与的等式。 注意：切线方程并不是a与的等式，这个等式中还含有变量“x,y”. 第一，找到a，的等式 思考二：如何利用“公切线”找到a，的等式？ 有等式：， 即：， 消去得到：, (显然，保留较简单，求a的最小值，可以改为求的最大值) ④求函数的最大值 方法：导数方法，利用函数的单调性。 (x>0) ,函数单调增，，函数单调减 最大值为： 得到等式：，,答案：A ⑤本题需要学会 第一，本题要有意识：a是变量，都是变量，可以引进变量，也可引进变量，消去其中一个即可。 第二，本题需要找到a与的等式，3个“未知量”，找到2个等式即可。 第三，求a的最小值，可以改为求的最大值，要学会根据条件作适当改变问题要简单很多。 第四，养成习