专题1-12 利用导数研究函数的单调性，极值与最值·13类题型-2023-2024学年高二数学上学期期末考点·题型·技巧与方法重难点突破（人教A版2019选择性必修第一、二册）

专题1-12 利用导数研究函数单调性，极值与最值13类题型 知识点梳理 模块一 函数单调性 【题型1】 求函数的单调区间 【题型2】函数图象与导函数图象的关系 【题型3】已知单调区间，求参数值或范围 【题型4】在给定区间上不单调，求参数范围 【题型5】存在单调区间，求参数范围 【题型6】对含参函数的单调性进行分类讨论 模块二 函数的极值 【题型7】求函数的极值与极值点 【题型8】利用图像判断极值 【题型9】根据极值、极值点求参数的值 【题型10】根据极值求参数范围 【题型11】极值的综合运用 模块三 函数的最值 【题型12】已知最值求参数 【题型13】最值与参数范围 知识点梳理 一、函数的单调性 1.函数的单调性与导数的关系 (1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系： 导数 函数的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 f′(x)＝0 常函数 (2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系： 函数的单调性 导数 单调递增 f′(x)≥0 单调递减 f′(x)≤0 常函数 f′(x)＝0 2.判断函数y＝f(x)的单调性的步骤： 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 3．导数的绝对值与函数值变化的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”． 二、函数的极值 1.极值点与极值的概念 极值与单调性一样，都是函数的局部性质 (1)极小值点与极小值 如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值 如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x) 的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. 2.求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值. 三、函数的最值 模块一 函数单调性 【题型1】 求函数的单调区间 【方法技巧与总结】 求函数的单调区间的步骤如下： （1）求的定义域 （2）求出，通分，分解因式 （3）令，求出其全部根，把全部的根在轴上标出，穿针引线. （4）在定义域内，令，解出的取值范围，得函数的单调递增区间；令，解出的取值范围，得函数的单调递减区间.若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开. 1． 函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2． 函数的单调递增区间是（       ） A． B． C． D． 3． 函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 4． 函数的单调增区间为_________. 【题型2】函数图象与导函数图象的关系 5． 如图为函数（其定义域为）的图象，若的导函数为，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6． 设是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（    ） A． B． C． D． 7． 已知函数在定义域内可导，其图象如图所示.记的导函数为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8． 已知函数的导函数图像如图所示，则的图像是图四个图像中的（    ）． A． B． C． D． 9． 已知y=(1-x)f '(x)的图象如图所示,其中f '(x)是函数f(x)的导函数,则所给选项中,函数y=f(x)的图象可能是 (　　) A B C D 10． 在R上可导的函数f(x)的图象如图所示,则关于x的不等式xf '(x)<0的解集为 (　　) 　　　　　　 　　　　　　 A.(-∞,-1)∪(0,1)　　　B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-2,-1)∪(1,2)　　　　　D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 11． 函数f(x)=的大致图象是 (