专题03 轴对称与等腰三角形（12大考点+过关检测）-【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（人教版）

专题03 轴对称与等腰三角形 思维导图 核心考点聚焦 1、 轴对称图形 2、轴对称的性质 3、轴对称与坐标变换 4、线段垂直平分线的性质 5、等腰三角形的性质 6、等边三角形的性质 7、直角三角形的性质 8、翻折变换 9、等腰三角形的判定 10、等边三角形的判定 11、等腰三角形的综合问题 12、等边三角形的综合问题 1．轴对称 （1） 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是轴对称图形；这条直线叫做它的对称轴；也称这个图形关于这条直线对称； （2） 两个图形关于这条直线对称：一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点； （3） 轴对称图形与两个图形成轴对称的区别：轴对称图形是指一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合；而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合； （4） 轴对称图形与两个图形成轴对称的联系：把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形； （5） 画轴对称图形的方法： 找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）； 画——画各个特殊点关于对称轴对称的点； 连——依次连接各对称点． 2．垂直平分线 （1）垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线； （2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； （3）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； （4）对称的两个图形是全等的； （5）垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； （6）逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 3．坐标与轴对称 （1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）； （2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）； （3）P（a，b）关于直线x=m的对称点P'的坐标为（2m﹣a，b）； （4）P（a，b）关于直线y=n的对称点P'的坐标为（a，2n﹣b）． 4．等腰三角形的性质与判定 （1）等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） ． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的平分线，但不能作未来底边的中线. 5．等边三角形 （1）等边三角形定义：三条边都相等的三角形．（等边三角形是特殊的等腰三角形） （2）等边三角形的性质： ①等边三角形的三个内角都是60°； ②等边三角形的每条边都存在三线合一． （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 1.关于坐标轴对称的点的坐标特点： （1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）； （2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）． 已知两个点的坐标分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），若x1=x2，y1+y2=0，则点P1，P2关于x轴对称；若x1+ x2=0，y1= y2，则点P1，P2关于y轴对称．反之也成立． 2.判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 【注意】①“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． ②“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 3.等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一种非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同时等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°