第08讲 平行四边形的判定（7大考点+过关检测）-【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（人教版）

第08讲 平行四边形的判定 判定定理1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形．　　 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC．求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：连接BD． ∵AB=CD，AD=BC， BD是公共边， ∴△ABD≌△CDB． ∴∠1=∠2，∠3=∠4． ∴AB∥DC，AD∥BC． ∴四边形ABCD是平行四边形． 判定定理2　两组对角分别相等的四边形是平行四边形．　　 已知：在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D．求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵多边形ABCD是四边形， ∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°． 又∵∠A=∠C，∠B=∠D， ∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°． ∴AD∥BC，AB∥DC． ∴四边形ABCD是平行四边形． 判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形．　　 已知：如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB， ∴△AOD≌△COB． ∴∠OAD=∠OCB． ∴AD∥BC． 同理AB∥DC． ∴四边形ABCD是平行四边形． 判定定理4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD，求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：连接 AC. ∵AB //CD ， ∴∠1=∠2． 又∵AB =CD ，AC =CA ， ∴△ABC≌△CDA． ∴BC =DA ． ∴四边形ABCD是平行四边形． 平行四边形的判定有五种： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【注意】（1）判定方法可作为“画平行四边形”的依据． （2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形． （3）一组对边相等，一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形． （4）两组邻边分别相等或两组邻角分别相等都不能判定四边形是平行四边形． 考点剖析 考点一、平行四边形的判定条件 【例1】如图，在四边形中，与相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【变式1】根据图中所给的边长及角度，下列四边形中，一定可以判定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 考点二、由两组对边的关系判定平行四边形 【例2】如图，在平行四边形中，分别是，的角平分线．求证：四边形是平行四边形．    【变式2】如图，已知都是等边三角形，点不在同一条直线上．你能证明四边形是平行四边形吗？ 考点三、由一组对边的关系判定平行四边形 【例3】如图，点D，C在上，，，．    (1)求证：； (2)连接，，判定四边形的形状，并说明理由． 【变式3】如图，已知是等边三角形，点D、F分别在线段、上，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：． 考点四、由对角线的关系判定平行四边形 【例4】如图，将平行四边形的对角线向的两个方向延长，分别至点和点，且使得，求证：四边形为平行四边形．    【变式4】已知：如图，在中，E，F是对角线上的两点，G，H是对角线上的两点，，．求证：四边形是平行四边形． 考点五、添加条件使四边形是平行四边形 【例5】如图，在四边形中，，，垂足分别为点E，F，连接． (1)请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是 ； (2)在（1）中添加条件后，请证明四边形为平行四边形． 【变式5】如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，添加个条件，使得四边形AECF为平行四边形． (1)现有四个条件：①BE＝DF；②AF∥CE；③AE＝CF；④∠BAE＝∠DCF．你添加的条件是：　 　（填一个序号即可） (2)在（1）的基础上，求证：四边形AECF是平行四边形． 考点六、与已知三点构成平行四边形 【例6】在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四辺形，请写出D点坐标： ． 【变式6】平面直角坐标系中，，，，为平面内一点若、、、四点恰好构成一个平行四边形，则平面内符合条件的点的坐标为 ． 考点七、平行四边形与动点问题 【例7】如图，在四边形中，，，，点从点出发，向以的速度运动，到点即停止．点从点出发，向以的速度运动，到点即停止，点，同时出发，设运动时间为. (1)用含t的代数式表示：_________；_____