第11讲 矩形的判定（6大考点+过关检测）-【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（人教版）

第11讲 矩形的判定 矩形的判定： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）有三个角是直角的四边形是矩形； （3）对角线相等的平行四边形是矩形． 【注意】（1）判定矩形的常见思路 （2）用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说，有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形． （3）用对角线判定一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线；二是平行四边形．也就是说，对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形． 1.矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形. 已知：在平行四边形ABCD中，已知AC=BD，求证：四边形ABCD是否为矩形. 证明：在ABCD中，AB=DC,AB∥DC， ∵AC=DB，BC=CB， ∴△ABC≌△DCB（SSS）， ∴∠ABC=∠DCB， ∵AB∥DC， ∴∠ABC+∠DCB=180°， ∴∠ABC=90°， ∴ABCD是矩形. 2.矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形. 已知：四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵∠A＝∠B＝90°， ∴∠A＋∠B＝180°， ∴AD∥BC， 同理：AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠A＝90°， ∴四边形ABCD是矩形. 考点剖析 考点一、矩形判定的理解 【例1】要求加工4个长为、宽为的矩形零件．陈师傅对4个零件进行了检测．根据零件的检测结果，图中不合格的零件是（    ） A． B． C． D． 【变式1】木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（    ） A．测量两组对边是否相等 B．测量一组邻边是否相等 C．测量对角线是否相等 D．测量对角线是否互相垂直 考点二、添加条件使四边形是矩形 【例2】如图，在中，于点E，点在边的延长线上，则添加下列条件不能证明四边形是矩形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边的中点，则下列条件能使得四边形为矩形的是（    ）    A． B． C． D． 考点三、证明四边形是矩形 【例3】如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，且∠QPA＝∠PCB．求证：四边形ABCD是矩形． 【变式3】如图，中，点D是边的中点，过D作直线，的平分线交直线于点，点是的边延长线上的点，的平分线交直线于点．求证：四边形是矩形． 考点四、利用矩形的性质与判定求角 【例4】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，其中AD∥BC，AD＝BC，AC＝2OB，AE平分∠BAD交CD于点E，连接OE． (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若∠OAE＝15°， ①求证：DA＝DO＝DE； ②直接写出∠DOE的度数． 【变式4】如图所示，在四边形中，对角线，相交于点O，，，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，于点E，求的度数． 考点五、利用矩形的性质与判定求线段的长 【例5】如图，在中，，是的平分线，是外角的平分线，，垂足为点E． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 【变式5】如图，在平行四边形中，，延长AB使，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接，若，，求的长. 考点六、利用矩形的性质与判定求面积 【例6】如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，点E是的中点，过点E作，交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【变式6】如图，在平行四边形中，过点作于点点在边上，连接 (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分求四边形的面积． 过关检测 一、单选题 1．下列能够判断四边形是矩形的是（    ） A．两组对角相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相垂直且相等 D．对角线互相平分且相等 2．如图，要使成为矩形，需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点，分别是，的中点，点M，在对角线上，，则下列说法正确的是（　　）    A．若，则四边形是矩形 B．若，则四边形是矩形 C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是矩形 4．如图，在平行四边形中，，是上两点，，连接，，，，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是（  ） A． B． C． D． 5．我们在学习直角三角形斜边的中线定理时，小明同学证明的过程有点缺失，你能帮他找回缺失的部分吗？已知：在中，，O是的中点，求证：．证明：如图，延长至点，使，连接．… ∴，∴．下面是“…”部分被打乱顺序的证明过程： ①∴四边形是平行四边形； ②∵；③∵，；④∴四边形是矩形． 则正