3.2基本不等式 同步练习-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

北师大版高中数学必修1 第1章 3.2 基本不等式 同步练习 已知 ，则 的最小值是 A． B． C． D． 已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为 A． B． C． D． 已知 ，，则 的最小值为 A． B． C． D． 设 ，，且不等式 恒成立，则实数 的最小值为 A． B． C． D． 设 ，， 都是正实数，且 ， 满足 ，则使 恒成立的 的取值范围是 A． B． C． D． 某工厂第一年的产量为 ，第二年的增长率为 ，第三年的增长率为 ，这两年的平均增长率为 ，则 A． B． C． D． 一批救灾物资随 辆汽车从某市以 的速度直达灾区，已知两地相距 ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于 ，那么这批物资全部运到灾区至少需要 A． B． C． D． 若 ，则 的最小值为 ． 已知 ，， 均为实数，且 ，，则正数 的最小值为 ． 已知 ，则 的最大值为 ． 回答下列问题： (1) 已知 ，且 ，求 的最小值； (2) 已知 ， 都是正实数，求 的最小值． 设 ，， 都是正数，求证：． 已知 ，且 ，求证：，并求等号成立的条件． 山东新旧动能转换综合试验区是党的十九大后获批的首个区域性国家发展战略综合试验区，也是中国第一个以新旧动能转换为主题的区域发展战略综合试验区．泰安某高新技术企业决定抓住发展机遇，加快企业发展．已知该企业的年固定成本为 万元，每生产设备 台，需另投入成本 万元．若年产量不足 台，则 万元；若年产量不少于 台，则 万元．已知每台设备售价为 万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完． (1) 写出年利润 （万元）关于年产量 （台）的关系式； (2) 年产量为多少台时，该企业所获利润最大？ 为迎接省运会，某市某体育馆需要重新铺设塑胶跑道．已知每毫米厚的跑道的铺设成本为 万元，跑道平均每年的维护费 （单位：万元）与跑道厚度 （单位：毫米）的关系为 ，．若跑道厚度为 毫米，则平均每年的维护费需要 万元，设总费用 为跑道铺设费用与 年维护费之和． (1) 求 的值与总费用 的表达式； (2) 当塑胶跑道铺设多厚时，总费用 最小，并求出最小值． 答案 1. 【答案】A 2. 【答案】D 3. 【答案】B 4. 【答案】C 5. 【答案】D 6. 【答案】B 7. 【答案】B 8. 【答案】 9. 【答案】 10. 【答案】 11. 【答案】 (1) 因为 ， 所以 ． 因为 ， 所以 ，， 所以 （当且仅当 ，即 时取等号）， 所以 ， 故 的最小值为 ． (2) 解法一（换元法）：设 ，， 则 ，，且 ， 为正实数． 所以 ， 当且仅当 时，等号成立， 所以 的最小值是 ． 解法二（配凑法）： 因为 ， 为正实数， 所以 ，， 所以 当且仅当 时，等号成立， 所以 的最小值是 ． 12. 【答案】因为 ，， 都是正数， 所以 ，， 都是正数， 所以 ，当且仅当 时，等号成立， ，当且仅当 时，等号成立， ，当且仅当 时，等号成立． 三式相加，得 ， 即 ， 当且仅当 时，等号成立． 13. 【答案】因为 ， 所以 ． 又因为 ， 所以 ， 当且仅当 时，等号成立． 由 得 ，， 即当 ， 时，等号成立． 14. 【答案】 (1) 当 时，； 当 时，． 所以 ． (2) 当 时，， 所以当 时， 取得最大值，最大值为 万元； 当 时，， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 此时 取得最大值，最大值为 万元． 所以当年产量为 台时，该企业所获利润最大，最大利润为 万元． 15. 【答案】 (1) 依题意，当 时，， 解得 ， 所以 ， 所以 ，． (2) 由（）得 当且仅当 ，即 时，等号成立． 故当塑胶跑道铺设 毫米时，总费用 最小，最小值为 万元． 学科网（北京）股份有限公司 $$