函数零点讲义-2024届高三艺术生数学一轮复习

12.8函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使 f(x)＝0 成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与 x轴 有交点⇔函数y＝f(x)有 零点 . (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)＜0 ，那么函数y＝f(x)在区间 (a，b) 内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个 c 也就是f(x)＝0的根． 1、 确定零点区间 【例1】函数的零点所在区间为( ) A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5) 【解析】详解：，， ，由于，得函数在区间（2,3）内存在零点.故选B 【变式探究1】 （1）函数的零点所在的区间为( ) A． B． C． D． （2）函数的零点所在的大致区间（ ） A.（1，2） B．（2，e） C．（e, 3） D．（e , +） （3）已知函数的零点在区间内，则的取值范围是( ) A． B． C． D． （4）函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，3) B．（1，2） C．(0，3) D．(0，2) 2、判断函数零点的个数 【例2】函数的零点的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】令=0，可知，如图所示，易知y=lnx与的图象有两个交点．故f(x)有两个零点，选C. 【变式探究2】 （1）函数f(x)＝ 的零点个数是________． （2） 函数的零点个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 （3） 函数f(x)=2x＋lg(x＋1) −2的零点有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3、已知零点个数，求参数范围 【例3】已知函数，若函数y=f(x)-a2有3个零点，则实数a的取值范围是___________. 【解析】由题意得方程f(x)-a2=0有三个不同的实数根，即方程f(x)=a2有三个不同的实数根， 所以函数y=f(x)和函数y=a2的图象有三个不同的交点． 画出函数y=f(x)的图象如下图所示， 结合图象可得，要使两函数的图象有三个不同的交点，则需满足0＜a2≤1， 解得-1≤a＜0或0＜a≤1，所以实数a的取值范围是． 【变式探究3】 （1）已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为(　　) A．(1,3) B．(0,3) C．(0,2) D．(0,1) （2）已知函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________________ 习题 ： 12.8函数的零点 1．函数在[0，2π]的零点个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2、函数的零点所在的一个区间是（ ） A．（-2,-1） B．（-1,0） C．（0,1） D．（1,2） 3、函数的零点所在的区间是( ) A． B． C． D． 4、已知函数，若是方程的根，则( ) A． B． C． D． 5、函数的零点个数为 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 6、函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 7、函数的零点的个数为_______．  8、已知函数,若实数x0是方程f(x)=0的解，且0<x1<x0,则f(x1)的值（ ) A．恒为正 B．等于零 C．恒为负 D．不大于零 9、已知函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是 ． 10、已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x＞0时，f(x)＝2x＋2x－4，则f(x)的零点个数是(　　) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 11．函数f(x)＝lg(|x|＋1)－sin 2x的零点个数为