指数函数和幂函数讲义-2024届高三艺术生数学一轮复习

12.4指数函数的图象及其性质 (1)指数函数的定义：一般地，函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量． (2)指数函数的图象与性质 y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性 质 ①过定点(0,1) ②当x＞0时，y＞1； x＜0时，0＜y＜1 ③当x＞0时，0＜y＜1； x＜0时，y＞1 ④在(－∞，＋∞)上是增函数 ⑤在(－∞，＋∞)上是减函数 1、指数函数的概念 【例1】若函数f（x）=（a2–2a–2）ax是指数函数，则a的值是( ) A．–1 B．3 C．3或–1 D．2 【解析】∵函数f（x）=（a2–2a–2）ax是指数函数，∴，解得a=3．故选B． 【变式探究1】函数f（x）=(2a–3)是指数函数，则f（1）=（ ） A．8 B． C．4 D．2 2、指数函数定点问题 【例2】若函数（a>0且a≠1）的图象恒过点P，则点P为________． 【解析】令x-1=0,得x=1,再把x=1代入得y=1-2=-1,所以图象恒过定点（1，-1）.故答案为（1，-1）. 【变式探究2】函数的图象恒过定点A，若定点A在直线上，则3m+n的最小值为（ ） A．13 B．14 C．16 D．12 3、指数函数的单调性 【例3】（1）满足的x的取值范围是_______________  【解析】，利用指数函数的单调性，可得x-3<-2，即x<1. （2）函数的单调递增区间是_______________ 【解析】设t=x2-2x+6,则函数可化为是减函数，t=x2-2x+6的减区间是，增区间是，根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是. 【变式探究3】 （1）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． （2）函数 的减区间为 （3）函数的单调递减区间为( ) A． B． C． D． （4）已知函数，则是( ) A．奇函数，且在R上是增函数 B．偶函数，且在上是增函数 C．奇函数，且在R上是减函数 D．偶函数，且在上是减函数 4、指数比较大小 【例4】 设，则的大小关系是( ) A． B． C． D． 【解析】对于函数，在其定义域上是减函数，，，即. 在同一平面直角坐标系中画出函数和函数的图象， 可知，即.从而.故A正确. 【变式探究4】 （1）比较下列各组数的大小( ) ① ② ③ （2）已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>c>a （3）设，则的大小关系是( ) A． B． C． D． 12.5 幂函数 概念 形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中α为常数 图象(α＝－1，，1，2，3) 性质 所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都过点（1,1） α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间（0，+∞）上是增函数 α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴 【例1】幂函数在上单调递减，则等于（ ） A． B． C．或3 D. 【解析】为幂函数，，或，当时，，在 上单调递增；当时，，在上单调递减，故选B. 【例 2】幂函数是偶函数，在(0,+∞)上单调递减，则整数m的值为　　.  【解析】幂函数在(0,+∞)上单调递减,所以2m2-3m-2<0,得-<m<2,所以整数m的值可以为0,1.当m=0时,2m2-3m-2=-2,此时函数为偶函数,满足题意;当m=1时,2m2-3m-2=-3,函数不为偶函数,不满足题意.所以m=0. 【变式探究1】 1、幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 习题：12.4指数函数 1．已知函数，则不等式的解集是（ ）． A. B. C. D. 2、已知函数，则（ ） A．是偶函数，且在R上是增函数 B．是奇函数，且在R上是增函数 C．是偶函数，且在R上