第四章 指数函数与对数函数 章末总结-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

章末总结 判断对错(正确的打“√”,错误的打“×”). 1.对任意实数a,m,n,都有=am n.(　×　) 2.形如f(x)=(a>0,且a≠1)的函数图象关于原点对称.(　√　) 3.函数f(x)=和函数g(x)=log22x是同一个函数.(　×　) 4.指数函数f(x)=ax与对数函数g(x)=loga x的图象关于直线y=x对称.(　√　) 5.函数f(x)=ln x2与函数g(x)=2ln x的图象完全相同.(　×　) 6.函数f(x)=lg2x2+2lg x+1与g(x)=lg2x2+2lg x+1定义域不同,值域相同.(　×　) 7.若连续函数f(x)在区间(a,b)上存在零点,则必有f(a)f(b)<0.(　×　) 题型一　指数与对数的运算 [例1] (1)(2020·全国Ⅰ卷)设alog34=2,则4-a=(　　) A. B. C. D. (2)(2022·浙江卷)已知2a=5,log83=b,则4a-3b等于(　　) A.25 B.5 C. D. (3)(2021·天津卷)若2a=5b=10,则+等于(　　) A.-1 B.lg 7 C.1 D.log710 (4)化简(2log43+log83)(log32+log92)的值为(　　) A.1 B.2 C.4 D.6 (5)若log2x-lo4=0,则实数x的值是　　　　.  解析:(1)由alog34=2可得log34a=2, 所以4a=32=9,所以有4-a=.故选B. (2)因为2a=5,b=log83=log23,即23b=3,所以4a-3b====.故选C. (3)因为2a=5b=10, 所以a=log210,b=log510, 所以+=+=lg 2+lg 5=lg 10=1.故选C. (4)原式=(2×log23+log23)(log32+log32)=log23×log32=2.故选B. (5)log2x-lo4=0⇔log2x+log24=0, 即log2x=-2,解得x=. 答案:(1)B　(2)C　(3)C　(4)B　(5) 指数式与对数式的转化 指数式的运算首先注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算,其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的. 对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式,换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧. 题型二　指数、对数函数的图象问题 [例2] (1)已知函数y=f(x)是偶函数,当x∈(0,+∞)时,y=ax(0<a<1),则该函数在(-∞,0)上的图象大致是(　　) (2)(2021·天津卷)函数y=的图象大致为(　　) (3)(2020·北京卷)已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集是(　　) A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞) (4)函数f(x)=的图象大致是(　　) 解析:(1)当x∈(0,+∞)时,y=ax(0<a<1),所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增.注意到a0=1,所以B选项符合.故选B. (2)设y=f(x)=,则函数f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称, 又f(-x)==f(x),所以函数f(x)为偶函数,排除AC; 当x∈(0,1)时,ln |x|<0,x2+2>0,所以f(x)<0,排除D.故选B. (3)因为f(x)=2x-x-1,所以f(x)>0等价于2x>x+1, 在同一平面直角坐标系中作出y=2x和y=x+1的图象,如图所示. 两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2), 不等式2x>x+1的解为x<0或x>1. 所以不等式f(x)>0的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).故选D. (4)x+>x+=x+|x|≥0, 所以f(x)的定义域为R, f(-x)= = ==- =-f(x),所以f(x)是奇函数, 图象关于原点对称,排除B,D选项. f(1)=>0,排除C选项,所以A选项正确.故选A. 指数函数、对数函数的图象及应用有两个方面:一是已知函数解析式求作函数图象,即“知式求图”,此类题要注意利用定义域、奇偶性、单调性、关键点和关键线,注意指数函数、对数函数图象的作法以及简单的图象平移、对称、翻折等变换.二是判断方程的根的个数时或解不等式时,通常不具体解方程或不等式,而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题. 题型三　比较大小问题 题组一　直接利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性 [例3] (1)(2020·全国Ⅲ卷)设a=log32,b=log53,c=,则(　　) A.a<c<b B.a<b<c C.b