第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末总结-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

章末总结 判断对错(正确的打√,错误的打×). 1.若a>b,则<.(　×　) 2.若a∈R,b∈R,则≤.(　×　) 3.若a∈R,b∈R,则ab≤.(　√　) 4.若a∈R,b∈R,则ab≤.(　√　) 5.若关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为R,则a>0,b2-4ac≤0.(　×　) 6.若关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{1},则a<0,b2-4ac=0.(　√　) 7.若关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为,则a<0,b2-4ac<0.(　×　) 题型一　数或式的大小比较问题 [例1] (1)已知a,b,c,d∈R,且a<b<c,c≠d,(a-d)(b-d)(c-d)+c=d,则(　　) A.d<a B.a<d<b C.b<d<c D.d>c (2)(多选题)已知a>b≥2,则(　　) A.b2<3b-a B.a3+b3>a2b+ab2 C.ab>a+b D.+>+ (3)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是(　　) A.ax+by+cz B.az+by+cx C.ay+bz+cx D.ay+bx+cz 解析:(1)由题意知,(a-d)(b-d)(c-d)=d-c,又c≠d,则(a-d)(b-d)=-1<0,显然a-d,b-d异号,又a<b,所以a<d<b<c.故选B. (2)a>b≥2,A,比如a=3,b=2,4>3,故A不成立;B,a3+b3-(a2b+ab2)=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)2(a+b)>0,故B成立;C,由ab-a-b=a(b-1)-b=(b-1)(a-)=(b-1)[a-(1+)]>0,故C成立;D,+--=≥0,故D不成立.故选BC. (3)由x<y<z,a<b<c,所以ax+by+cz-(az+by+cx)=a(x-z)+c(z-x)=(x-z)(a-c)>0,故ax+by+cz>az+by+cx;同理,ay+bz+cx-(ay+bx+cz) =b(z-x)+c(x-z)=(x-z)(c-b)<0, 故ay+bz+cx<ay+bx+cz. 因为az+by+cx-(ay+bz+cx)=a(z-y)+b(y-z)=(a-b)(z-y)<0,故az+by+cx<ay+bz+cx,故最低费用为az+by+cx.故选B. 数或式比较大小的方法 (1)作差后与0比较大小或两个正数作商后与1比较大小. (2)通过特值探求两个式子的大小,然后证明. (3)一些特殊结构的式子可以考虑利用基本不等式比较大小. 题型二　不等式的性质及应用 [例2] (1)已知a<b,c≥0,则下列不等式中恒成立的是(　　) A.ac<bc B.a2c≤b2c C.a2+c<b2+c D.ac2≤bc2 (2)下列命题正确的是(　　) A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若ac>bc,则a>b C.若<,则a<b D.若a>b,c>d,则a-c>b-d (3)如果实数a,b,c满足a>b>c,则下列不等式一定成立的是(　　) A.ac2>bc2 B.a2>b2>c2 C.a+c>2b D.a-c>b-c 解析:(1)因为a<b,c≥0,所以ac≤bc,则选项A不正确;当a=-1,b=时,a2>b2,所以a2c≥b2c和a2+c>b2+c成立,则选项B,C不正确;因为c≥0,所以c2≥0,所以ac2≤bc2,则选项D正确. 故选D. (2)令a=1,b=-1,c=-1,d=-5,显然A,D不成立;对于B,若c<0,显然不成立, 对于C,由c2>0,得a<b,故C正确.故选C. (3)对于选项A,当c=0时,ac2=bc2,故选项A错误; 对于选项B,当a=-1,b=-2,c=-3时,a2>b2>c2错误; 对于选项C,当a=1,b=0,c=-3时,a+c>2b错误; 对于选项D,直接利用不等式的基本性质的应用求出a-c>b-c,故选项D正确. 故选D. 应用时容易出错的不等式的性质 (1)同向不等式可以相加,异向不等式可以相减.若a>b,c>d,则a+c>b+d,若a>b,c<d,则a-c>b-d;但异向不等式不可以相加,同向不等式不可以相减. (2)左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,但不能相乘.若a>b>0,c>d>0,则ac>bd;若a>b>0,0<c<d,则>. (3)左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方.若a>b>0,则an>bn或>,n∈N,n≥2. (4)若ab>0,a>b,则<;若ab<0,a>b,则>. 题型三