2.2 第1课时 基本不等式-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

2.2　基本不等式 学习目标 1.通过基本不等式及其几何解释的学习提升数学抽象和直观想象素养. 2.通过利用基本不等式求最大值或最小值提升逻辑推理和数学运算素养. 3.通过基本不等式的实际应用,提升数学建模和数学运算素养. 第1课时　基本不等式 《几何原本》中的几何代数法是用几何方法研究代数问题,这种方法是数学家处理问题的重要依据,很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.如图是我国古代数学家赵爽创作的弦图,弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形. 探究:若直角三角形的直角边长分别为 和 ,你能找出一个关于a和b的不等关系吗? 答案:斜边即大正方形的边长,为,大正方形面积为a+b,而大正方形面积大于等于四个直角三角形的面积和,即得a+b≥4×·=2,当且仅当a=b时,取等号,所以不等式a+b≥2(a>0,b>0). 1.基本不等式 (1)如果a>0,b>0,有≤,当且仅当a=b时,等号成立.通常称这个不等式为基本不等式. (2)a>0,b>0时,叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数.基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. (3)下面是基本不等式≤的一种几何解释,请你补充完整. 如图所示,AB为☉O的直径,AC=a,CB=b,过点C作CD⊥AB交☉O上半圆于点D,连接AD,BD.由△ACD∽△DCB可得,CD=,而OD=,因为OD≥CD,所以≥,当且仅当点C与O重合,即当a=b时,等号成立. 思考1:“a,b为正实数”是“a+b>2”的　　　　　　　　条件.(用“必要不充分”“充分不必要”“充要”“既不充分也不必要”填空)  提示:既不充分也不必要. 2.基本不等式与最值 已知x,y都是正数, (1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值.(简记:和定积最大) (2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值2.(简记:积定和最小) 思考2:若矩形的面积为100,则其周长的最小值为　　　　;若矩形的周长为40,则矩形面积的最大值为　　　　.  提示:40,100. 基本不等式链:若a>0,b>0,则≤≤≤,当且仅当a=b时取等号. 证明:由基本不等式可得≤显然成立, 下面证明:≤和≤, 要证≤,只需证≤1, 即证2≤a+b,即≤,上面已经证明, 要证≤,只需证()2≤, 即证≤,即2ab≤a2+b2, 即a2+b2-2ab≥0,即(a-b)2≥0,显然成立, 所以≤≤≤, 当且仅当a=b时取等号. 说明:若0<a≤b,则a≤≤≤≤≤b, 其中,也即叫做a,b的调和平均数, 叫做a,b的平方平均数. 利用基本不等式求最值 角度1　直接利用基本不等式求最值 [例1] (1)已知0<x<2,求的最大值; (2)已知0<x<8,求x(8-x)的最大值; (3)已知x>0,求x+的最小值; (4)已知x>0,y>0,若xy=2,求2x+y的最小值. 解:(1)因为0<x<2,所以2-x>0, 所以≤=1, 当且仅当x=2-x,即x=1时等号成立, 所以的最大值为1. (2)因为0<x<8,所以0<8-x<8, 所以x(8-x)≤[]2=16, 当且仅当x=8-x,即x=4时取等号, 所以x(8-x)的最大值为16. (3)因为x>0,所以x+≥2=6, 当且仅当x=,即x=3时取等号, 所以x+的最小值为6. (4)因为x>0,y>0,xy=2, 所以2x+y≥2=4, 当且仅当2x=y,即x=1,y=2时,等号成立. 所以2x+y的最小值为4. 利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则,即 (1)一正:符合基本不等式≥成立的前提条件,即a>0,b>0. (2)二定:化不等式的一边为定值. (3)三相等:必须存在等号成立的条件. 以上三点缺一不可. 针对训练1:(1)已知0<x<1,求2x(3-2x)的最大值; (2)已知x,y都是正数,且xy=1,求+的最小值; (3)已知a>0,b>0,且2a+b=4,求的最小值. 解:(1)因为0<x<1,所以1<3-2x<3, 所以2x(3-2x)≤()2=,当且仅当2x=3-2x,即x=时,等号成立, 所以2x(3-2x)的最大值为. (2)因为x,y>0,且xy=1, 所以+≥2=2=4, 当且仅当=,且xy=1, 即x=,y=2时,取等号, 所以+的最小值为4. (3)因为4=2a+b≥2,当且仅当2a=b, 且2a+b=4,即a=1,b=2时,等号成立, 所以0<ab≤2,故≥2, 所以的最小值为2. 角度2　凑定值后利用基本不等式求最值 [例2] (1)已知-1<x<,求y=(1+x)(1-2x)的最大值; (2)已知x>1,求y=4x+1+的最小值.