函数的基本性质讲义-2024届高三艺术生数学一轮复习

12.3函数的基本性质 （一）函数的单调性 一般地，设函数的定义域为I，区间，如果对于任意，当时， 若，则函数在区间D上是增函数； 若，则函数在区间D上是减函数； 【例1】（1）函数的单调递增区间是 ( ) A． B． C． D． 【解析】任取 则， ，， ∴函数的单调递增区间是，故选A． （2）已知函数，，求函数的最大值和最小值． 【解析】在区间上是增函数．因此，函数在区间的左端点处取得最小值，右端点处取得最大值，即最小值是，最大值是． （3）已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】当a=0时, =﹣12x+5为一次函数, k<0说明在(-,3)上是减函数,满足题意，当a>0时，为一元二次函数,开口朝上,要使得在(-,3)是减函数,需满足：， 解得0<a≤；当a<0时，为一元二次函数，开口朝下，要使得在(-,3)上是减函数是不可能存在的，故舍去．综上，a的取值范围为，故选D. （4）函数在R上为增函数，且，则实数m的取值范围是( ) A． B． C． D． 【解析】函数在R上为增函数，且，2m > m+9，解得m>9，故选A 【变式探究1】 （1）下列函数在（0,2）上是增函数的是（ ） A． B． C． D． （2）函数的增区间为 ，减区间为 （3）若函数在区间上为增函数，则实数k的取值范围是____________ （4）的增区间为 ，减区间为 （5）的增区间为 ，减区间为 （6），若在上为减函数，则m的取值范围为___________ （7）在上为单调函数，则m的取值范围为 （8）已知是定义在上的减函数，若，则m的取值范围为 （二）函数的奇偶性 若在定义域上是奇函数或是偶函数，则 偶函数：f(-x)＝f(x) ，关于 y轴 对称 奇函数f(-x)＝－f(x) ，关于 原点 对称， ★奇函数+奇函数=奇函数； 偶函数+偶函数=偶函数； 偶函数+奇函数=非奇非偶函数 奇函数×奇函数=偶函数； 偶函数×偶函数=偶函数； 偶函数×奇函数=奇函数 1、根据奇偶性求函数值 【例2】定义在R上的奇函数，当时，，则＝ ． 【解析】因为为定义在R上的奇函数，所以，，因此 . 【变式探究2】 （1）是R上的奇函数，且，则=( ) A． B． C．1 D．-1 （2）已知R上的奇函数满足：当x<0时，，则=（ ） A．-1 B．-2 C．1 D．2 2、根据奇偶性求函数解析式 【例3】已知是定义在R上的奇函数．当时， ，则不等式的解集用区间表示为（ ） A． B． C． D． 【解析】是定义在R上的奇函数，所以.设x<0，则-x>0，当时， ， ，又，，x<0. 当时，由>0得，解得x>1或x<0（舍去），此时x>1； 当x=0时，不成立； 当x<0时，由>0得，解得-1<x<0. 综上，故选D. 【变式探究3】 （1）已知为R上的偶函数，当 （2）已知是奇函数．当x＞0时．f(x)＝＋lg(1＋x)．则x＜0时，= 3、已知奇偶性，求参数的值 ：特殊值法 【例4】已知函数是定义在R上的偶函数，则实数的值等于 ． 【解析】因为为偶函数，故，所以，整理得到，即，又当时，有， ，故， 为偶函数，故填． 【变式探究4】 （1）已知函数是定义域为R的奇函数，当时， ，则的值为（ ） A． B． C． D． （2）已知是偶函数，且其定义域为，则a＝　　　，b＝　　　． （3）已知函数 是偶函数，则a= . 4、非奇非偶函数 【例5】函数（）的最大值与最小值之和为 ． 【解析】因为为奇函数，其最大值与最小值之和为0，因此函数（）的最大值与最小值之和为2. 【变式探究5】 （1）已知，，则= （2）已知函数（）的最大值为M,最小值为m,则M+m= 5、奇偶性与单调性结合 【例6】（1）下列函数是偶函数且在区间上为增函数的是（ ） A．