立体几何核心考点（六）利用空间向量计算线面角讲义-2024届高三数学二轮复习

2024届立体几何核心考点（六）利用空间向量计算线面角 一．基础知识： 1.求直线和平面所成的角 如图，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有．（易错点） 2．利用向量求线面角 (1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线与平面所成的角． 二．经典例题： 1.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形， ，M，N分别为的中点，． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 2．如图，已知三棱柱，平面平面，，， ，，分别是，的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 3．如图，已知和都是直角梯形，，，，， ，，二面角的平面角为．设M，N分别为 的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 4．如图，在三棱锥中，，，为的 中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． P A B M C O 3． 练习题目： 1.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为正三角形，点D在棱BC上，且CD＝3BD，点E，F分别为棱AB，BB1的中点． (1)证明：A1C∥平面DEF； (2)若A1C⊥EF，求直线A1C1与平面DEF所成的角的正弦值． 2．斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，A1B＝，∠A1AB＝∠A1AC＝60°． (1)证明：平面A1BC⊥平面ABC； (2)求直线BC1与平面ABB1A1所成角的正弦值． 2024届立体几何核心考点（六）利用空间向量计算线面角 二．经典例题： 1.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形， ，M，N分别为的中点，． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 解析（1）在中，，，，由余弦定理可得， 所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以． （2）由，，而与相交，所以平面，因为，所以，取中点，连接，则两两垂直，以点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系, , 又为中点，所以．由(1)得平面，所以平面的一个法向量 从而直线与平面所成角的正弦值为． 2．如图，已知三棱柱，平面平面，，， ，，分别是，的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 解析：(1)连接，因为，是的中点，所以．又平面平面，平面，平面平面，所以平面． 如图，以点为原点，分别以射线，为，轴的正半轴，建立空间直角坐标系． 不妨设，则，，，， 因此，，，由，得． (2)设直线与平面所成角为，由(1)得， 设平面的法向量，则取，故 ，因此，直线与平面所成角的余弦值为． 3．如图，已知和都是直角梯形，，，，， ，，二面角的平面角为．设M，N分别为 的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 解析：（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点交于点、．∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，， ∵，且，∴平面是二面角的平面角，则，∴是正三角形，由平面，得平面平面，∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面． （2）因为平面，过点做平行线，所以以点为原点， ，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，则， 设平面的法向量为由，得，取， 设直线与平面所成角为， ∴． 4．如图，在三棱锥中，，，为的 中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． P A B M C O 解析：（1）因为，为的中点，所以，且． 连接．因为，所以为等腰直角三角形，且， ．由知．由，知平面． （2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系． P A B M C O x y z 由已知得，，，，，． 取平面的法向量为．设，则．设平面的法向量为，由，得，可取， 所以，由已知可得． 4． 练习题目： 1.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为正三角形，点D在棱BC上，且CD＝3BD，点E，F分别为棱AB，BB1的中点． (1)证明：A1C∥平面DEF； (2)若A1C⊥EF，求直线A1C1与平面DEF所成的角的正弦值． 解析　(1)如图，连接AB1，A1B交于点H，设A1B交EF于点K，连接DK， 因为四边形ABB1A1为矩形，所以H为线段A1B的中点． 因为点E，F分别为棱AB，BB1的中点，所以点K为线段BH的中点，所以A1K＝3BK． 又CD＝3BD，所以A1C∥DK．又A1C⊄平面DEF，DK⊂平面DEF，所以A1C∥平面DEF． (2)连接CE，EH，由(1)知，EH∥AA1，因为AA1⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC． 因