5.5 三角函数模型的简单应用-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，湘教版）

5.5　三角函数模型的简单应用 核心知识目标 核心素养目标 1.会用三角函数解决简单的实际问题. 2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 通过实际问题,构建三角函数数学模型,重点提升学生的数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养. 1.三角函数模型的应用 (1)三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化的规律、预测其未来等方面都发挥着重要作用. (2)实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多门学科的知识才能完成,因此在应用数学知识解决实际问题时,不仅要注意从复杂的实际背景中抽取基本的数学关系,而且还要调动相关学科知识来解决问题. 2.建立三角函数模型的步骤如下: 1.(2022·广东深圳高一期末)如图,一个质点在半径为1的圆O上以点P为起始点,沿逆时针方向旋转,每2 s 转一圈,由该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是(　A　) A.y=|sin(πt+)| B.y=|sin(πt-)| C.y=sin(πt-) D.y=sin(πt+) 解析:由题意可知点P运动的角速度是=π(弧度/秒),那么点P运动t秒后∠POx=πt+,由三角函数的定义可知,点P的纵坐标是sin(πt+), 因此该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是y=|sin(πt+)|. 故选A. 2.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t(单位:s)离开平衡位置的位移s1(单位:cm)和s2(单位:cm)分别由s1=5sin(2t+),s2=10cos 2t 确定,则当t= s时,s1与s2的大小关系是(　C　) A.s1>s2 B.s1<s2 C.s1=s2 D.不能确定 解析:当t=时,s1=5sin(+)=5sin =-5,当t=时,s2=10cos =10×(-)=-5,故s1=s2.故选C. 3.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(x+)+k,据此函数可知,这段时间水深y(单位:m)的最大值为(　C　) A.5 B.6 C.8 D.10 解析:因为函数y=3sin(x+)+k的最小值为2,所以-3+k=2,得k=5, 故这段时间水深的最大值为3+5=8(m).故选C. 　三角函数在生活中的应用 [例1] 海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表: 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 水深/m 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 时刻 15:00 18:00 21:00 24:00 水深/m 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)若用函数f(t)=Asin(ωt+)+h(A>0,ω>0,||<)来近似描述这个港口的水深和时间之间的对应关系,根据表中数据确定函数表达式; (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4 m,安全条例规定要有2.25 m的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口? 解:(1)由水深和时间之间的对应关系, 得周期T=12, 所以ω==, 由表可知A==,h==5, 所以f(t)=sin(t+)+5. 当t=3时,f(3)=7.5,即sin(3×+)=1. 因为||<,所以=0, 所以函数表达式为f(t)=sint+5(0≤t≤24). (2)因为船底与水面的距离为4 m,船底与洋底的距离为 2.25 m, 所以y≥6.25,即sint+5≥6.25, 可得sint≥, 所以+2kπ≤t≤+2kπ,k∈Z, 解得1≤t≤5或13≤t≤17.故得该船在1≤t≤5或13≤t≤17时,能进入港口满足安全要求. 解三角函数应用问题的基本步骤 (1)实际问题中要注意函数的定义域. (2)建立数学模型解决实际问题,所得的模型是近似的,并且得到的解也是近似的,这就需要根据实际背景对问题的解进行具体分析. 　三角函数在物理中的应用 [例2] 已知电流I与时间t的关系为I=Asin(ωt+)(ω>0,|ω|<). (1)如图所示是I=Asin(ωt+)(ω>0,||<)在一个周期内的图象,根据图中数据求I=A·sin(ωt+)的解析式; (2)如果t在任意一段s的时间内,电流I=Asin(ωt+)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少? 解:(1)由题图知A=300, 设t1=-,t2=, 则周期T=2(t2-t1)=2(+)=, 所以ω==150π. 又当t=时,I=0, 即sin(150π·+)=0,而||<, 所以=. 故所求的解析式为I=300