第5章 §5.5 三角函数模型的简单应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦函数y=Asin(ωx+φ)解析式求解及三角函数模型实际应用，前承三角函数图象与性质，后接复杂模型应用，通过问题引入、例题解析、方法归纳、跟踪训练构建完整学习支架。 以摩天轮、温度变化等生活情境及电流、弹簧振动等物理现象为载体，引导学生用数学眼光观察周期性规律，通过逐一定参、待定系数等方法培养数学思维，构建模型解决问题提升数学语言表达能力，课中助力教师教学，课后辅助学生巩固查漏。

学习目标　1.能根据图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式.2.会构建三角函数模型解决简单的实际问题. 导语 现实世界中，许多事物的运动、变化呈现出一定的周期性，例如，地球的自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；海水在月球和太阳引力下发生的涨落现象；做简谐运动的物体的位移变化；人体在一天中血压、血糖浓度的变化等等，如果某种变化着的现象具有周期性，那么它可以借助三角函数来描述，利用三角函数的图象和性质解决相应的实际问题，今天，我们就一起来探究如何构建三角函数模型解决实际问题. 一、已知图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 问题　确定三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，就要确定三角函数的哪些参数？ 提示　A，ω，φ的值.其中A影响的是函数的最大、最小值，ω影响的是函数的周期. 例1　(课本例1)如图为小球在做单摆运动(可近似看作简谐振动)时，离开平衡位置时的位移y(cm)随时间x(s)变化的函数图象，已知该图象满足y＝Asin(ωx＋φ)的形式.试根据函数图象求出这个单摆运动的函数解析式. 解　由图象知，周期T＝2＝π，所以ω＝＝2. 因为点在函数图象上，且函数图象满足y＝Asin(ωx＋φ)的形式， 所以Asin＝0，即sin＝0. 又已知0<φ<则<＋φ< 从而＋φ＝π，即φ＝. 又点(0，1)在函数图象上，所以Asin＝1，得A＝2. 故所求函数的解析式为y＝2sin. 例1　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式. 解　方法一　(逐一定参法) 由图象知A＝3， T＝＝π， ∴ω＝＝2， ∴y＝3sin(2x＋φ). ∵点在函数图象上， ∴－×2＋φ＝0＋2kπ，k∈Z， ∴φ＝＋2kπ，k∈Z， 又|φ|<∴φ＝ ∴y＝3sin. 方法二　(图象变换法) 由A＝3，T＝π，点在图象上， 可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得， ∴y＝3sin即y＝3sin. 反思感悟　给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法 (1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一点”)或选取最大值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，选取最小值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)求得φ. (2)待定系数法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式. (3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数. 跟踪训练1　(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　) A.y＝2sin B.y＝2sin C.y＝2sin D.y＝2sin 答案　A 解析　由题图可知，A＝2， T＝2＝π， 所以ω＝2. 由函数经过点可知2sin＝2， 所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 所以φ＝－＋2kπ，k∈Z， 因为|φ|< 所以φ＝－ 所以函数的解析式为y＝2sin. (2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为且图象上一个最低点为M求f(x)的解析式. 解　由最低点M得A＝2. 在x轴上两相邻交点之间的距离为 故即T＝π，ω＝＝2. 由点M在图象上得 2sin＝－2，即sin＝－1， 故＋φ＝＋2kπ，k∈Z， ∴φ＝＋2kπ，k∈Z， 又φ∈ ∴φ＝.故f(x)＝2sin. 二、三角函数模型的实际应用 角度1　三角函数模型在生活中的应用 例2　(课本例2) 已知摩天轮的半径为60 m，其中心距离地面70 m，摩天轮做匀速转动，每30 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处. (1)试确定在时刻t(min)时，点P离地面的高度h； (2)在摩天轮转动的一圈内，点P离地面的高度超过100 m的时间有多长？ 解　(1)如图，以摩天轮所在面为坐标平面，以摩天轮的中心点为原点O，x轴和y轴分别平行和垂直于地平面，建立平面直角坐标系. 点P的初始位置在最低点，设点P从最低点沿逆时针方向匀速转动，OP在时间t(min)内所转过的角度为·t＝t，因此OP与Ox的夹角为－t，于是，点P的纵坐标y＝60sin＝－60cost. 因此，点P离地面的高度h＝70＋y＝(m). (2)根据题意，由于0≤t≤30，则t∈[0，2π]. 由70－60cost>100， 解得<t<，从而10<t<20. 因此，在摩天轮转动的一圈内，点P离地面的高度超过100 m的时间有10 min. 例2　如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时.请解答下列问题. (1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)之间的函数解析式； (2)当你第四次距离地面60.5米时，用了多长时间？ (3)当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，问：你的朋友登上摩天轮多长时间后，你和你的朋友与地面的距离之差最大？并求出最大值. 解　(1)可以用余弦型函数来表示该函数解析式， 由已知可设y＝40.5－40cos ωt(t≥0)， 由周期为12分钟可知，当t＝6时到达最高点， 即函数取得最大值， 故80.5＝40.5－40cos 6ω，即得cos 6ω＝－1， ∴6ω＝π，解得ω＝ ∴y＝40.5－40cos t(t≥0). (2)令y＝40.5－40cos t＝60.5， 得cos t＝－ ∴t＝π＋2kπ，k∈Z或t＝π＋2kπ，k∈Z， 解得t＝4＋12k，k∈Z或t＝8＋12k，k∈Z， 又∵t≥0，故第四次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟). (3)与地面的距离之差最大，此时你必须在你的朋友的正上方，或你的朋友在你的正上方，由周期性知，再过2分钟后，你恰好在你的朋友的正上方；再过半个周期时，恰相反，故过(6k＋2)(k∈N)分钟后，你和你的朋友与地面的距离之差最大，最大值为40米. 反思感悟　解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行 (1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论. (2)建立三角函数模型，将实际问题数学化. (3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解. (4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解. (5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案. 跟踪训练2　已知某地一天从4点到16点的温度(℃)变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4，16]. (1)求该地区这一段时间内的最大温差； (2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？ 解　(1)x∈[4，16]，则x－∈. 由函数解析式易知，当x－即x＝14时，函数取得最大值，最大值为30，即最高温度为30 ℃，当x－＝－即x＝6时，函数取得最小值，最小值为10，即最低温度为10 ℃，所以最大温差为30－10＝20(℃). (2)令10sin＋20＝15， 可得sin＝－而x∈[4，16]， 所以x＝.令10sin＋20＝25， 可得sin而x∈[4，16]， 所以x＝. 故该细菌在这段时间内能存活(h). 角度2　三角函数模型在物理中的应用 例3　已知电流I(安)与时间t(秒)的关系为I＝Asin(ωt＋φ). (1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 解　(1)由题图可知A＝300， 设t1＝－t2＝ 则周期T＝2(t2－t1)＝2 ∴ω＝＝150π. 又当t＝时，I＝0，即sin＝0， 又|φ|<∴φ＝. 故所求的解析式为I＝300sin. (2)依题意知，周期T≤即≤(ω>0)， ∴ω≥300π>942，又ω∈N＋， 故所求最小正整数ω＝943. 反思感悟　处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性. (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. 跟踪训练3　如图，弹簧挂着的小球做上下运动，时间t(s)与小球相对平衡位置(即静止时的位置)的高度h(cm)之间的函数关系式是h＝2sint∈[0，＋∞). (1)以t为横坐标，h为纵坐标，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)小球开始振动的位置在哪里？小球最高点、最低点的位置及各自到平衡位置的距离分别是多少？ (3)小球经过多长时间往复振动一次？小球1 s内能振动多少次？小球在什么时间内是升高状态？ 解　(1)画出函数h＝2sin的简图(长度为一个周期). ①列表： t 0 π 2t＋ π π 2π 2sin 2 0 －2 0 ②描点. ③连线：用平滑曲线依次连接各点即得h＝2sin一个周期内的简图，如图所示. (2)当t＝0时，h＝2sin 即小球开始振动时的位置为(0). 当t＝＋kπ(k∈Z)时，h＝2；当t＝＋kπ(k∈Z)时，h＝－2，即最高点位置为k∈Z，最低点位置为(k∈Z)；最高点、最低点到平衡位置的距离均为2 cm. (3)小球往复振动一次所需时间即周期T＝＝π≈3.14(s).小球1 s内振动的次数为频率f＝≈≈0.318(次).小球在或(k∈Z，k≥0)内是升高状态. 1.知识清单： (1)求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式. (2)三角函数模型在生活中的应用. (3)三角函数模型在物理中的应用. 2.方法归纳：数学建模、数形结合、待定系数法. 3.常见误区：选择三角函数模型时，最后结果忘记回归实际问题. 课时对点练 [分值：80分] 单选题每小题5分，共20分；多选题每小题6分，共12分 1.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sint∈[0，＋∞)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是(　　) A.2 B. C.π D.2，π 答案　B 解析　当t＝0时，θ＝sin 由函数解析式易知单摆周期为＝π， 故单摆频率为. 2.音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝sin ωt.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为(　　) A.200 B.400 C.200π D.400π 答案　D 解析　由图象可得，ω>0，T＝4× 即则ω＝400π. 3.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，其中t∈[0，60]，则d等于(　　) A.5sin B.15sin C.10sin D.0 答案　C 解析　将解析式写为d＝Asin(ωt＋φ)的形式， 由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0； 当t＝30时，d＝10， 可得ω＝所以d＝10sin . 4.(多选)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，0<φ<π)，则下列说法正确的是(　　) A.该函数的最小正周期是16 B.该函数图象的一条对称轴是直线x＝14 C.该函数的解析式是y＝10sin＋20(6≤x≤14) D.该市这一天中午12时天气的温度大约是27 ℃ 答案　ABD 解析　由图象知A＋B＝30，－A＋B＝10， ∴A＝10，B＝20. ∵＝14－6＝8， ∴T＝16，A正确； ∵T＝∴ω＝∴y＝10sin＋20. ∵图象经过点(14，30)， ∴30＝10sin＋20， ∴sin＝1. ∵0<φ<π，∴φ＝ ∴y＝10sin＋20，0≤x≤24， ∴B正确；C错误； 当x＝12时，y＝10sin＋20 ＝10×＋20≈27.故D正确. 5.(5分)函数y＝Acos (ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为　　　　　　　.  答案　y＝2cos 解析　由图象可知，A＝2所以T＝π＝⇒ω＝2. 由点在函数图象上，可得2cos＝2，所以2×＋φ＝2kπ，k∈Z，又0<φ<所以φ＝. 所以y＝2cos. 6.(5分)一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝　　　　cm.  答案　 解析　由已知得＝1， 所以＝2π＝4π2，l＝. 7.(13分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示. (1)求出函数f(x)的解析式；(6分) (2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，求出函数y＝g(x)的单调递增区间及对称中心.(7分) 解　(1)由图象得 解得 又＝2π，∴T＝4π，∴ω＝ 由f ＝6，得＋φ＝2kπ＋k∈Z， 即φ＝＋2kπ，k∈Z， 又|φ|<∴φ＝ 综上，f(x)＝4sin＋2. (2)根据题意可得g(x)＝4sin＋2， 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋k∈Z，得函数g(x)的单调递增区间为k∈Z. 令2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝k∈Z， ∴函数g(x)的对称中心为k∈Z. 8.(15分)近年来，我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源，目前利用风能发电的主要手段是风车发电.如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为现有一座风车，塔高100米，叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点(此时P离地面60米).设点P转动t(秒)后离地面的距离为S(米)，则S关于t的函数关系式为S(t)＝Asin＋B. (1)求S(t)的解析式；(7分) (2)求叶片旋转一圈，点P离地面的高度不低于80米的时长.(8分) 解　(1)如图，建立平面直角坐标系， 当t＝0时，风车开始旋转，某叶片的一个端点P在风车的最低点， 设为P0，则P0 由题意得，ω＝ 解得 所以S(t)＝40sin＋100. (2)令S(t)≥80， 则S(t)＝40sin＋100≥80， 即cost≤ 所以2kπ＋≤t≤2kπ＋ 解得＋5k≤t≤＋5k. ＋5k－ 所以叶片旋转一圈，点P离地面的高度不低于80米的时长为秒. 9.阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“上海慧眼”，如图(1).由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(单位：m)和时间t(单位：s)的函数关系为y＝sin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<π)，如图(2).若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置y0(－1<y0<1)的时间分别为t1，t2，t3(0<t1<t2<t3)，且t1＋t2＝2，t2＋t3＝6，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5 m的总时间为(　　) A. s B. s C.1 s D. s 答案　D 解析　由题意得(t1＋t2)＝1(t2＋t3)＝3，故函数y＝sin的周期为T＝2×(3－1)＝4，ω＝可得y＝sin令sin>0.5，解得4k＋φ<t<4k＋φ，k∈Z，故总时间为4k＋φ－ 综上，在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5 m的总时间为 s. 10.(多选)单摆是一种简谐运动，摆球的运动情况可以用三角函数表达为y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0，|φ|<其中x表示时间(单位：s)，y表示相对于平衡位置的位移(单位：cm)，A表示振幅表示频率，φ表示初相位.如图甲某个小球做单摆运动，规定摆球向右偏移的位移为正，竖直方向为平衡位置.图乙表示该小球在[0，3] s运动时的位移随时间变化的情况.根据秒表记录，当x＝时，小球第一次到平衡位置；当x＝时，小球的位移第一次到反向最大值.根据以上图文信息，下列选项中正确的是(　　) A.频率为 B.初相φ＝或 C.振幅A＝10 D.当x＝时，小球第三次回到平衡位置 答案　ACD 解析　A选项，设最小正周期为T，由题意得⇒T＝2⇒ω＝π，频率为故A正确； B选项，当x＝时，小球第一次到平衡位置，即x＝是对应三角函数单调递减区间上的零点，且|φ|<所以sin＝0⇒φ＝故B错误； C选项，根据图中的信息知点(3，－5)在图象上，所以Asin＝－5⇒A＝10，故C正确； D选项，当x＝时，小球第一次到达平衡位置，当x＝＋2＝时，小球第三次到达平衡位置，故D正确. 11.(5分)国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin＋60(A>0，ω>0)，其中P为油价(美元)，t为时间(天).现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为　　　　.  答案　 解析　因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin＋60，最高油价80美元， 所以A＝20. 当t＝150(天)时达到最低油价， 即sin＝－1， 此时150ωπ＋＝2kπ－k∈Z， 因为ω>0，所以令k＝1， 得150ωπ＋＝2π－解得ω＝. 故ω的最小值为. 12.(5分)如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系. 时刻t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 水深(m) 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 若该港口的水深y(m)和时刻t(0≤t≤24)的关系可用函数y＝Asin ωt＋h(其中A>0，ω>0，h>0)来近似描述，则该港口在11：00的水深为　　　m.  答案　4 解析　由题意得函数y＝Asin ωt＋h(其中A>0，ω>0，h>0)的周期为T＝12， 解得 ∴ω＝∴y＝2sint＋5， ∴该港口在11：00的水深为 y＝2sin π＋5＝4(m). 学科网（北京）股份有限公司 $