13 函数y=Asin(ωx +φ)的图像和性质、三角函数的应用-【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学必修第一册同步周测卷(湘教版)

高一同步周测卷/数学必修第一册 (十三)函数y=Asin(wx十p)的图象 与性质、三角函数模型的简单应用 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的〉 1.已知简谐运动f(x)=2sin(5x+9)(l9<)的图象经过点(03)，则该简谐运动 的最小正周期T和初相φ分别为 A.T=6,9=8 B.T=6,g=晋 C.T=6元，p=否 D.T=6m9=号 2.函数y=sin2x十平)在一个周期内的图象可以是 9 7元 7π 9π 0 3π 5π 4 8 A. B. C. D 3.将函数f(x)=sim(2x+)的图象向左平移m(m>0)个单位长度，得到奇函数y g(x)的图象，则m的最小值是 A罗 B.5 c.晋 D.是 4.把函数f(x)的图象向左平移开个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到 原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=2sinx+)的图象.则函数f(x)的一个解析 式为f(x)= A.2cos(2x+） B.2sin(4) C.2cos(2x+号） D.2sin(4x+F） 数学（湘教版）必修第一册第1页（共4页）】 衡水金卷·先享题· 5.由于潮汐，某港口一天24h的海水水位H(单位：)随时间t(单位：h,0≤t<24)的变 化近似清足关系式H)=A十Bin(臣：一)(B>0),若一天中最高水位为14m, 最低水位为6m,则该港口一天内水位不小于8m的时长为 A.12h B.14h C.16h D.18h 6.已知函数f(x)=2 sin wx十 )(w>0)的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是 A.函数f(x)的图象关于点（受0）中心对称 B函数fx)的单调增区间为[kx一2，km一石]（∈Z) C.函数g(x)=f(twx)(t>0)在(0，π)上有2个零点，则实数t的 取值范周为会异] D.函数f(x)的图象可由y=2 sin wx的图象向左平移个单位长度得到 6 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成函数”.下列函 数中，与f(x)=cosx构成“互为生成函数”的有 A.f(x)=sin x B.f:(x)=/sin(+) C.fs(x)-1-cos x D.fa ()=sin 8.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由关系 式h(t)=Asin(wt十p)确定，其中A>0,w>0,p<元.小球从最低点出发，经过2秒 后，第一次回到最低点，则下列说法中错误的是 itltaatiatt A.h()=Asin(t+2》 B:=3秒与=号秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 h>0 C.当0<t<t。时，若小球有且只有三次到达最高点，则to∈[5,7] -h=0 D.当0<t1<t2<2时，若t1,t2时刻小球偏离于平衡位置的距离相同， h<0 高一同步周测卷十三 数学（湘教版）必修第一册第2页（共4页）】 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.一个单摆如图所示，小球偏离铅垂线方向的角为arad,a与摆动时间 t(单位：s)之间的函数关系式为a()=2sim(受十号)，那么单摆完成 5次完整摆动所需的时间为s. 10.已知w>0,顺次连接函数y=sin wx与y=cos wx图象的任意三个相邻的交点都可 以构成一个等边三角形，则ω的值为 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 若将函数f(x)=2o(2x+)图象上所有点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不 变，再向右平移否个单位长度，得到函数g(x)的图象. (1)求g(x)的解析式及图象的对称轴方程； (2)若f2x-)=g(x),求an(4x+)的值. 数学（湘教版）必修第一册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 12.(本小题满分15分) 某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(wx十g)(A>0,w>0,<)在某一个周 期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 5π 3 0 ω.x十9 2 元 2 2x y=Asin (ox+o) 0 3 0 0 (1)请将上表数据补充完整，并写出函数f(x)的解析式（直接写出结果即可）； (2)根据表格中的数据作出f(x)在一个周期内的图象； (3)将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的2倍， 再将所得函数图象上的所有点向左平移ξ个单位长度得到g(x)的图象，求g(x)在 区间0，]上的值域. 2 罗 3 -2 13.(本小题满分20分) 某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的 距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所用时间为24分钟.在圆周上均匀 分布12个座舱，标号分别为1~12（每个座舱视为圆周上与前一座舱的交点，如座 舱1即为图上A点)，在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本 符合正弦函数模型，现从图示位置开始计时，旋转时间为t分钟. (1)建系如图，求1号座舱(A点)与地面的距离h(米)与时间t(分钟)的函数关系 h(t)的解析式（写出定义域）； (2)在前24分钟内，求1号座舱(A点)与地面的距离为17米时t的值； (3)当座舱距离地面的高度达到47米及以上时，可看到该游乐场全貌，这段时间称 为“美景期”，请问在前24分钟内，“美景期”的时间有多长？ 外 6 543 -- 9 12A ,101h 高一同步周测卷十三 数学（湘教版）必修第一册第4页（共4页)高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第一册· 高一同步周测卷/数学必修第一册（十三） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ ① ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 求函数的最小正周 1 选择题 易 0.80 期与初相 正弦型函数图象的 选择题 易 0.72 识别 三角函数图象变换 3 选择题 与奇函数的综合 务 0.65 由变换后的函数解 4 选择题 5 析式确定变换前的 / 中 0.60 函数解析式 由三角函数性质确 选择题 5 定其解析式（实际 √ 中 0.55 应用 由图象确定正弦型 6 选择题 函数的解析式，正弦 中 0.45 型函数性质的综合 与图象变换有关的 7 选择题 6 中 0.50 新定义题 三角函数的应 8 选择题 6 用—弹簧振动 中 0.40 问题 9 填空题 三角函数的应 5 易 0.71 用—钟摆问题 正、余弦型函数图象 10 填空题 0.35 的应用 务 由余弦函数的性质 确定其解析式，研究 解答题 13 中 0.60 余弦型函数图象的 对称性 ·49· ·数学（湘教版）必修第一册· 参考答案及解析 五点作图法画正弦 12 解答题 15 型函数的图象，研究 / 中 0.55 正弦型函数的性质 三角函数的实际应 13 解答题 20 中 0.35 用一摩天轮问题 香考答案及解析 一、选择题 2sin[4(x-）十号]=2sin(4x-号)故选B 1.B【解析】由已知函数的图象经过点(0，√3)，则 A+B=14 A=10 2sin9=5,l<受心9=号，最小正周期T= 5.C【解析】由题知 ,解得 ,所以 A-B=6 B=4 2r=6.故选B, H)=10十4sin(臣-ξ).令H()≥8，即 3 2.C 【解析】因为y=sin(2x+交)=sin2(x si血(-号)≥-子，因为0<1<24，所以-经< 君)门，所以函数y=sim(2x十平)的图象可由y 三<智，由正孩函数图象与性质可知，一吾≤ s血2x向左平移受个单位长度得到，又最小正周期为 一三<晋，解得6≤≤2，所以该港口一天内水 位不小于8m的时长为22一6=16小时.故选C. T==π，所以只有C符合故选C. 2 6,D【解析】根据图象可得号一（一罗）=-3T, 3.C 【解析】将函数f(x)=sn(2x十)的图象向左 解得T=元.由T=红，所以0=2，所以f(x) 平移m(m>0)个单位长度，得到函数y=sin2x 2sin(2x+).因为f()=2sim(2×径+) m）)+号]=sn(2x+2m+)的图象，且该函数为 2sin2π=0，所以（罗，0）是函数f(x)的对称中心， 奇函数，则2m十 =kx(k长Z,解得m=经- 故A正确：由2km一受<2x十≤2km十受，k∈Z,解 (k∈Z),因为m>0,则当k=1时，m取最小值否，故 选C. 得k红一要≤<x一吾，∈，所以函数f(x)的单 4.B【解析】将函数y=2sin(x+牙)的图象所有点的 调增区间为[k如一子，x一晋]∈Z,故B正确：因 横坐标缩短到原来的子，纵坐标不变，得到y 为g(x)=f(2x)=2sim(4x+g）,当x∈ 2sim(4x+苓)，再把函数y=2sin(4x+号)的图象 (0,元)时，4r十晋∈(4十晋）因为函数g(x） 向右平移平个单位长度，得到∫(x) 在(0，π)上有两个零点，所以2π<4tπ十5四≤3π，得 ·50· 高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第一册· 员<1≤是故C正确：因为f(x) Aos3红2A,满足0<<<2且有，6时刻小 4 2sim[2(x+)]所以函数f(x)的图象可由y 球偏离于平衡位置的距离相同，此时s加(。干) 2sin2x的图象向左平移罗个单位长度得到，故D错 sinπ=0，故D错误.故选ACD. 三、填空题 误.故选D. 9.20 二、选择题 【解标】由解析式可得函数的周期T=红=4，所 2 7.AC【解析】f(x)=cosx=sin(x十乏)，由f(x) 以单摆完成5次完整摆动所需的时间为4×5=20s, =sinx,则将f(x)的图象向左平移乏个单位长度 10.【解折】由 sin wx=cos ar ,可得 sin'ox+cos or=1 后，即可与∫(x)的图象重合；f2(x)的图象无法经 √2 sin wx- 过平移与∫(x)的图象重合；将f3(x)的图象向左平 2 sin wx=- 2 或 ,如下图所示，取两 移π个单位长度，再向下平移1个单位长度后，即可 2 √2 COS @x- 2 与f(x)的图象重合：f1(x)的图象无法经过平移与 函数相邻的三个交点A,C,B, f(x)的图象重合，故A,C中的函数与f(x)“互为 生成函数”，故选AC. =cOS @x y=sin ox 8.ACD【解析】由题可知小球运动的周期T=2s,又 w>0,所以2红=2，解得a=,当t=0s时，Asin= -A,即sin9=-1,g<,所以9=-受，则h() =Asim(t-受）=一Acos,故A错误；因为h(3) 由图可知，等边△ABC的边AB上的高为h=2X 2 =-Acos3x=Ah(子)=-Aos子元=-A,所 =√2，|AB|为函数y=sin wx的最小正周期，即 以1=3秒与1=子秒时小球偏离于平奇位置的距离 |AB|=2红，所以|AC=|AB=2红，所以 -=2,故B正确；若0<t<to,则0<πt< sin∠BAC= πt。,又当0<t<6时，小球有且只有三次到达最高 四、解答题 点，所以5π<πt≤7π，解得5<to≤7，即t∈(5,7]， 1.解：(1)由题意将函数fx)=2cos(2x+受)图象上 故C错误；因为h(1)=一Ae0s,令1=子， 所有点的横坐标缩短到原来的弓，纵坐标不变，再 是，则A()=-A子=-号A,h(6) 2 向右平移需个单位长度， ·51· ·数学（湘教版）必修第一册· 参考答案及解析 可得g()=2co[4(x-石)+号] =2os(4x-号)】： (3分) 由4红一号-kx,k∈Z,可得=是十经，k∈Z, 故g)图象的对称轴方程为x=是+“，k∈乙 (6分) (2)由fx)=2cos(2x+号)， (11分) (3)g(x)=2×3sin(2×2x+4×8-否） g(x)=2cos(4x-号)： =6sin(4x+号）小 (13分) 因为f(2x-爱)=， 可得2cos(4x+5)=cos(4x-号) 当xe[o,晋]时4x+号∈[号，]， =os(4r+若-受）=sim(4r+若)： 则sin(ax+号)e[3,1], (10分) 则g(x)∈[3,6]， sin(4x+g） (13分) cos(4x+石) 即g(x)在区间[0，君]上的值域为[36].15分) 13.解：(1)设1号座舱与地面的距离h与时间t的函数 12.解：(1D由题可知A=3,T=2(凭-号)=x, 解析式为h(t)=Asin(wt十g)十bA>0,w>0,t≥0， g≤受) :2×号十9=受， 依题意，A=30,b=32,h(t)=30sin(wt十gp)十32， 函数h(t)的最小正周期T=24min, ∴f(x)=3sin(2x-5）, (5分) 则。要-是 当t=0时，点A距地面17米，即h(0)=17, 则数据补全如下表： 7π 5π 13π 则sin9=-专，而g≤受， 12 3 12 6 12 0 3π 2π 解得9=一晋， (4分) x十 2 2 y=Asin(axo) 0 0 -3 0 所以所求函数式为h()=30sin(是-否)+32，定 义域为[0，十∞). (6分) (7分) (2)由(1)知，f(x)在一个周期内的图象如图所示， (2)由a()=17,得30sin(受-晋)+32=17， ·52· 高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第一册· 整理得sn(一吾）=一号， (3)由h(t)≥47，得30sim(变-否)十32≥47， 由024，得-吾≤吾<， 整理得sn(-晋)≥， 6 由024，得-一晋≤-吾< 4, 则晋≤-日<晋解得4长12 解得t=0或t=16或t=24, 所以在前24分钟内，“美景期”的时间为8min. 所以t=0或t=16或t=24时，1号座舱与地面的距 (20分) 离为17米. (12分) ·53·